一元二次方程根及系数的关系典型例题.docx
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一元二次方程根及系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系
【同步教育信息】
一.本周教学容：
一元二次方程的根与系数的关系
［学习目标］
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：
韦达定理及逆定理）；
2.灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。
3.在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
4.提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
5.体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。
二.重点、难点：
1.教学重点：
一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。
2.教学难点：
正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。
【典型例题】
例1.已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。
分析：
含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
解：
（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：
解得：
（方法二）由题意：
解得：
根据韦达定理设另一根为x，则
点拨：
解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。
例2.已知方程的两根为，求下列代数式的值：
（1）；
（2）；（3）
分析：
若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。
解：
由已知，根据韦达定理
（1）
（2）
（3）
点拨：
体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。
例3.已知：
是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
分析：
由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。
解：
由题意，为的两个不等实根
因而有
又
点拨：
善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。
例4.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
解：
（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：
由
当时，代入
当时，由
代入
则
代入
把代入<2>中，
或
（解法二）将与相减得：
此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或
（1）若是0则；
（2）若是，则；
或
点拨：
两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。
例5.已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
分析：
对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。
解：
（1）设方程两根与，由韦达定理知：
又
（2）设方程两根，由根系关系知：
点拨：
已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。
例6.已知方程两根之比为1：
3，判别式值为16，求a、b的值。
分析：
必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。
解：
设已知方程的两根为m，3m
由韦达定理知：
即
把代入
得：
点拨：
把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。
例7.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）用含m的代数式表示；
（2）当时，求m的值。
分析：
应注意，即可用根系关系。
解：
（1）由题意：
（2）由
（1）得：
解得：
检验：
当时，原方程无实根。
∴舍去
当时，原方程有实根。
∴
点拨：
易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。
例8.已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为
和。
分析：
所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。
解：
设所求一元二次方程为
为方程的两根
∴由韦达定理
又
∴所求一元二次方程为
即：
点拨：
应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。
［总结扩展］
1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。
它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。
3.本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：
（1）验根；
（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……
4.通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
一.选择题。
1.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ）
A.2，-1 B.-1，2 C.-2，1 D.1，-2
2.已知方程的两根互为相反数，则m的值是（ ）
A.4 B.-4 C.1 D.-1
3.若方程有两根，一根大于1,一根小于1.则k的取值围是（ ）
A. B. C. D.
4.若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ）
A. B.
C. D.不能确定
5.方程的大根与小根之差等于（ ）
A. B. C.1 D.
6.以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题。
7.关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。
8.已知一元二次方程两根比2：
3，则a，b，c之间的关系是______。
9.已知方程的两根，且，则________。
10.已知是方程的两根，不解方程可得：
________，________，________。
11.已知，则以为根的一元二次方程是______
________________________。
三.解答题。
12.已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。
13.已知方程的两根不解方程，求和的值。
14.已知方程的两根，求作以为两根的方程。
15.设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。
【试题答案】
一.选择题。
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B
二.填空题。
7.
8.设，则
9.
或
时，原方程△＜0，故舍去，
10.
11.
由此
或
或
所求方程或
三.解答题。
12.解：
设方程的一个根为x，另一根2x
由根系关系知：
解得：
13.解：
由题设条件
14.解：
由题意
即
故所求方程是，即
15.解：
由
由
不符合题意，舍去
【励志故事】
果断
有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。
小男孩决定把它带回家喂养。
当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。
于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。
在他的哀求下妈妈终于破例答应了。
小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。
小男孩为此伤心了很久。
但从此他也记住了一个教训：
只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。
这个小男孩长大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人—王安博士。
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