初三年数学公开课安溪金火中学Word下载.docx

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最值问题的解决方法通常有两种：

（1）应用几何性质：

1三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2两点间线段最短；

3连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

4定圆中的所有弦中，直径最长。

（2）运用代数证法：

1运用配方法求二次函数或二次三项式的最值；

2运用一元二次方程根的判别式。

解决问题：

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线取A关于河岸的对称点A′，连结A′B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的．

如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，

但是，AC'

+C'

B＝A'

C'

B＞A'

C+CB＝AC+CB．

　可见，在C点外任何一点C'

饮马，所走的路程都要远一些．

　这有几点需要说明的：

（1）由作法可知，河流l相当于线段AA'

的中垂线，所以AD=A′D。

（2）由上一条知：

将军走的路程就是AC+BC，就等于A′C+BC，

而两点确定一条直线，所以C点即为所求。

变式：

若A、B两点分别在河流L的两侧，在河流L上取一点P使

最大。

三、指导应用，鼓励创新

例1、（2012安溪县质检）如图，在边长是5的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE=2，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是　　　　　

解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC，BD互相垂直平分，

∴点B关于AC的对称点为D，

∴F′D=F′B，

∴FE+F′B=FE+F′D≥DE．

只有点F运动到点F′时取等号，

∵DE⊥AB，

∴△AED是直角三角形，

∵AB=5，BE=2，

∴AE=AB-BE=3，

∴DE=

，

∴EF+BF的最小值是DE=4．

例2、（2003年第14届希望杯）如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则

的最大值等于．

延长AB交MN于点P′，

∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，

∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，

∵BD=5，CD=4，AC=8，

过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，

∴AB=

∴|PA-PB|=5为最大．

例3、（2009•漳州）几何模型：

条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°

，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为；

∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，

∴点B、D关于AC对称，

连结ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，

∵E为AB的中点，∠DAB=60°

∴DE⊥AB，

∴ED=

∴EF+BF的最小值为

.

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°

，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

作A关于OB的对称点A′，连结A′C，交OB于P，

PA+PC的最小值即为A′C的长，

∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴A′C＝

；

（3）如图3，∠AOB=45°

，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连结OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连结PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，

OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∴∠MON=2∠AOB=2×

45°

=90°

在Rt△MON中，MN=

即△PQR周长的最小值等于

．

四、巩固练习、深化知识

1.（2010•天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

（1）如图1，作点D关于x轴的对称点D'

，连结CD'

与x轴交于点E，连结

DE．若在边OA上任取点E'

与点E不重合（如图2），连结CE'

、DE'

、D'

E'

由DE'

+CE'

=D'

＞CD'

E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周长最小．

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，

∴BC=3，D'

O=DO=2，D'

B=6，

∵OE∥BC，∴Rt△D'

OE∽Rt△D'

BC，有

∴

∴点E的坐标为（1，0）；

（2）如图3，作点D关于x轴的对称点D'

，在CB边上截取CG=2，连接D'

G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，

又DC、EF的长为定值，

∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．

BG，有

∴OF＝OE+EF＝

∴点E的坐标为（

，0），点F的坐标为（

，0）

2.（1999•广西）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=

毫米．

（1）求证：

（2）当

与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？

最大面积是多少？

（删掉）（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于

的一元二次方程

的两个根，而

、

的值又恰好分别是

，10，12，13，

这5个数据的众数与平均数，试求

与

的值．

（1）证明：

根据已知条件易知：

PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，

∴△APN∽△ABC．从而有

即

∴

（2）解：

设矩形PQMN的面积为S，则S=xy（5分）

当x=40时，S有最大值为2400，此时y=

∴x=40mm，y=60mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米．

五、归纳小结，布置作业

例1、（2011年晋江质检26）如图，菱形

的边长为

动点

同时从点

出发，其中点

以

的速度，沿

→

的路线

向点

运动；

点

的路线向点

运动．当

到达终点

时，整个运动随之结束，设运动时间为

秒．

（1）直接填空：

＝　　　　　

（用含

的代数式表示，其中0＜

＜5）；

（2）若点

关于菱形

的对角线交点

的对称点为

，过点

且垂直于

的直线

交菱形

的边

（或

）于点

①当t为何值时，

的值最小？

②当t为何值时，

的面积

有最大值，此时

最大值是多少？

（1）

（2）①当点

在同一直线上时，

的值最小.

如图，在

中，易知

，又

由

得：

，解得

∴当

时，

的值最小．

②如图1，若

时，则

则

又∵

，∴

．又

，∴△

∽△

，即

当

有最大值

②若

又

综上，当

或

的最大值都是

例2、（2010年晋江质检25）已知：

如图，把矩形

放置于直角坐标系中，

，取

的中点

，连结

，把

沿

轴的负方向平移

的长度后得到

（1）试直接写出点

的坐标；

（2）已知点

与点

在经过原点的抛物线上，点

在第一象限内的该抛物线上移动，过点

作

轴于点

若以

为顶点的三角形与

相似，试求出点

试问在抛物线的对称轴上是否存在一点

，使得

的值最大.

（1）依题意得：

（2）

∵

∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为

又抛物线经过点

解得：

∴抛物线的解析式为

∵点

在抛物线上，

∴设点

1）若

∽

，则

（舍去）或

∴点

2）若

存在点

抛物线

的对称轴为直线

，设抛物线与

轴的另一个交点为

，则点

、点

关于直线

对称，

要使得

的值最大，即是使得

的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当

三点在同一直线上时，

的值最大.

设过

两点的直线解析式为

解得：

∴直线

的解析式为

∴存在一点

最大.

板书设计：

几何中