高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量81空间几何体的结构三视图和直观图学案文档格式.docx

高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量81空间几何体的结构三视图和直观图学案文档格式.docx

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任一直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

3.空间几何体的三视图

（1）三视图的名称

几何体的三视图包括：

正视图、侧视图、俯视图．

（2）三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°

或135°

，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；

平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；

平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

知识拓展

1．常见旋转体的三视图

（1）球的三视图都是半径相等的圆．

（2）水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

（3）水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

（4）水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　×

　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　×

（3）夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．（　×

（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（　×

（5）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．（　×

（6）菱形的直观图仍是菱形．（　×

题组二　教材改编

2．[P19T2]下列说法正确的是（　　）

A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案　D

解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．

3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．（填写所有正确的序号）

答案　③⑤

题组三　易错自纠

4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

答案　A

解析　由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．

5．（xx·

珠海质检）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（　　）

答案　B

解析　侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故选B.

6.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．

答案　

a2

解析　画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′（如图），D′为O′A′的中点．

易知D′B′＝

DB（D为OA的中点），

∴S△O′A′B′＝

×

S△OAB＝

a2＝

a2.

题型一　空间几何体的结构特征

1．给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；

②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；

③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

2．（xx·

青岛模拟）以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为（　　）

解析　由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．

思维升华

（1）关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．

（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

（3）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

题型二　简单几何体的三视图

命题点1　已知几何体，识别三视图

典例（xx·

贵州七校联考）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（　　）

A．①②⑥B．①②③

C．④⑤⑥D．③④⑤

解析　正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；

俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.

命题点2　已知三视图，判断几何体的形状

全国Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　）

A．10B．12

C．14D．16

解析　观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2×

（2＋4）×

2＝12.故选B.

命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图

汕头模拟）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（　　）

答案　C

解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．

思维升华三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

（2）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

跟踪训练

（1）（xx·

全国Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90πB．63πC．42πD．36π

解析　方法一　（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．

将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的

，所以该几何体的体积V＝π×

32×

4＋π×

6×

＝63π.故选B.

方法二　（估值法）由题意知，

V圆柱<

V几何体<

V圆柱，又V圆柱＝π×

10＝90π，∴45π<

90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.

（2）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（　　）

解析　由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.

题型三　空间几何体的直观图

福州调研）已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝

，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．

因为OE＝

＝1，所以O′E′＝

，E′F＝

，

则直观图A′B′C′D′的面积S′＝

＝

.

思维升华用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．

跟踪训练（xx·

贵阳联考）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°

，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

答案　2＋

解析　如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.

在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°

，∴BE＝

又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1，

∴BC＝BE＋EC＝

＋1，

由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.

在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝

＋1，A′B′＝2.

∴这块菜地的面积S＝

（A′D′＋B′C′）·

A′B′

2＝2＋

1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱

解析　球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等．当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.

2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（　　）

A．圆锥B．三棱锥

C．三棱柱D．三棱台

3．“牟合方盖”（如图1）是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如