高等代数习题集Word文档格式.docx
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求A在基xi1=（1,0,0）,xi2=（0,1,0）,xi3=（1,1,1）下的矩阵。
5.设
，求正交矩阵T，使T'
AT成对角形。
6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。
W也是A-1的不变子空间。
7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。
若任意
V，有（A
A
）=（
）。
证明：
A是V上线性变换，从而是V上正交变换。
8.设X
=
9.设A是奇数级的实对称矩阵，且|A|>
0，证明：
存在实n维向量X0
0，使X0'
AX0>
0。
10.设A=
，W={
|
R4,A
=0}。
1.[1，]W是
4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
11.设B
，C=
，在R2x2中定义变换A：
任意X
R2x2,A（X）=BXC。
A是R2x2上线性变换。
。
求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
12.用正交线性替换，化实二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形。
13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若（A2）-1（0）=A-1（0），证明：
V=AV.+A-1（0）。
14.设V是n维欧氏空间。
A是V上正交变换，W是A的不变子空间。
W
也是A的不变子空间。
15.设X
16.设A是奇数级的实对称矩阵，且|A|>
17.设A=
18.设B
1.[1，]证明：
2.[2，]求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
19.用正交线性替换，化实二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形。
20.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若（A2）-1（0）=A-1（0），证明：
21.设V是n维欧氏空间。
22.设
，求矩阵X。
23.设实二次型f（x1,x2,...,xn）=X'
AX的秩是n,其中A是实对称矩阵.证明:
实二次型g（x1,x2,...,xn）=X'
A-1X与f（x1,x2,...,xn）有相同的正负惯性指数和符号差。
24.设W={（a1,a2,...,an）|ai
R,
ai=0}证明
W是Rn的子空间。
25.设B=
B=
.在R2中定义变换
:
对任意X
R2x2,
X=BX+XC
是V上线性变换。
2.[2，]求
在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
26.设A=
27.设V为数域P上n维线性空间，V1,V2为其子空间，且V=V1
V2,
为V上可逆的线性变换.证明：
V=
V1+
V2。
28.设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2=E。
存在V的一组标准正交基，使得
在该基下的矩阵为
29.设X
30.设f（x1,x2,...,xn）=X'
AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'
AX=0当且仅当X=0。
f（x1,x2,...,xn）的秩为n，符号差是n或-n.
31.设
=（1,2,3,0）,
=（-1,-2,0,3），
=（0,0,1,1）,
=（1,-2,-1,0），W={
ki
|
ki
R}。
W是Rr4的子空间。
32.设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在基
下的矩阵是
A的逆变换A-1也是V上线性变换。
2.[2，]求A-1的在
下的矩阵。
33.设
34.设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。
A2是V上的恒等变换。
35.设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。
维（AW）+维（A-1（0）
W）=维W。
36.设
37.设W={A|A
R3x3,A'
=-A}。
W是R3x3的一个子空间。
38.设实二次型f（x1,x2,...,xn）=X'
AX的秩为n，符号差是s。
R中存在
（n-|s|）维子空间W使任意X0
W，X0'
AX0=0。
39.在R[x]3中定义变换A：
任意f（x）
R[x]3,A（f（x））=xf'
（x）。
A是R[x]3上线性变换。
2.[2，]求A在基1,x+1,x2+x+1下的矩阵。
40.设A=
41.设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。
维（AV）+维（A-1（0））=维V。
42.设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意
V，（A
A是V上线性变换，从而为V上对称变换。
43.设V=P[x]5,
f（x）
V，有f（x）=（x2-1）q（x）+r（x），其中r（x）=0或次（r（x））<
2,
V,令A（f（x））=r（x），则A是V的一个线性变换;
2.[2，]求A在基1,x,x2,x3,x4下的矩阵.
44.用正交线性替换，把实二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形，并求所用的正交线性替换,
45.设A,B是nxn正定矩阵，证明：
A2+B2是正定矩阵,
46.设W={A|A=（aij）n
Pnxn,
aii=0},
W是Pnxn的子空间,
2.[2，]求W的维数与一组基,
47.判别下述结论是否正确，并说明理由,
1.[1，]若nxn矩阵A,B有相同特征多项式，则A与B相似；
2.[2，]若W
是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则V=W
48.设A为n维欧氏空间V的线性变换，证明：
A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,
49.设A,B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB=BA，并且A有n个互异的特征值,证明：
A,B有n个线性无关的公共的特征向量.
50.求矩阵A=
的特征值和特征向量。
51.求二次型f（x1,x2,x3）=x12+5x1x2-3x2x3的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。
52.设V是由零多项式和数域
上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间。
对于任意的f（x）
V,定义
（f（x））=f'
（x）-f'
'
（x）.证明
是V的线性变换。
在基1,x+1,x2-x下的矩阵。
53.设V是一个欧氏空间，
V。
证明:
|
|=|
|
（
+
-
）=0
54.设W={f（x）|f（x）
P[x]4,f
（2）=0}.
55.设A为线性空间V上线性变换。
A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.
56.设A为nxn实矩阵，A=A'
A3=En证明：
A=En。
57.设
求矩阵X。
58.在Rr3中定义线性变换A：
（a1,a2,a3）
R3,A（a1,a2,a3）=（2a2+a3,a1-4a2,3a1）。
求
在基{（1,0,0）,（1,1,0）,（1,1,1）}下的矩阵.
59.用正交线性替换化二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形
60.设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换，W是A子空间。
W也是A-1-子空间。
61.设A是正定矩阵，证明：
A-1,A2都是正定矩阵。
62.设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且kerA=kerA2。
V=kerA
AV。
63.设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2=E。
存在V的一标准正交基，使A在该基下的矩阵是
.
64.设B
P2x2，
A（X）=BX-XB,
X
P2x2是P2x2上一个线性变换；
2.[2，]当B=
时，求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
65.用正交线性替换，把实二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标
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