任意角和弧度制及任意角的三角函数教案Word格式.docx

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四

解析：

由sinθ<

0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<

0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．

2.角α终边过点（－1，2），则cosα＝________．

－

3.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

1或4

4.已知角α终边上一点P（－4a，3a）（a<

0），则sinα＝________．

5.（必修4P15练习2改编）已知角θ的终边经过点P（－x，－6），且cosθ＝－，则sinθ＝____________，tanθ＝____________．

－　

cosθ＝＝－，解得x＝.sinθ＝＝－，tanθ＝.

1.任意角

（1）角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

（2）终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·

360°

（k∈Z）．

（3）弧度制

①1弧度的角：

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

③弧度与角度的换算：

＝2π弧度；

180°

＝π弧度．

④弧长公式：

l＝|α|r．

扇形面积公式：

S扇形＝lr＝|α|r2．

2.任意角的三角函数

（1）任意角的三角函数定义

设P（x，y）是角α终边上任一点，且|PO|＝r（r＞0），则有sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

（2）三角函数在各象限内的正值口诀是：

Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．

3.三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cosα，sinα），即P（cosα，sinα），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线

[备课札记]

题型1　三角函数的定义

例1　α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．

解：

∵OP＝，∴cosα＝＝

x.又α是第二象限角，∴x<

0，得x＝－，

∴sinα＝＝.

已知角α终边上一点P（－，y），且sinα＝y，求cosα和tanα的值．

r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，

∴y＝±

或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；

当y＝－即α是第三象限角时，

cosα＝＝－，tanα＝；

当y＝0时，P（－，0），

cosα＝－1，tanα＝0.

题型2　三角函数值的符号及判定

例2　

（1）如果点P（sinθ·

cosθ，2cosθ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限；

（2）若θ是第二象限角，试判断sin（cosθ）的符号．

（1）因为点P（sinθ·

cosθ，2cosθ）位于第三象限，

所以sinθ·

cosθ<

0，2cosθ<

0，

即所以θ为第二象限角．

（2）∵2kπ＋<

θ<

2kπ＋π（k∈Z），∴－1<

∴sin（cosθ）<

0.∴sin（cosθ）的符号是负号．

已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则角α的终边在第________象限．

由题意，得tanα＜0且cosα＞0，所以角α的终边在第四象限．

题型3　弧长公式与扇形面积公式

例3　已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.

（1）若α＝60°

，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

（2）若扇形的周长是一定值C（C>

0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

（1）设弧长为l，弓形面积为S弓．

∵α＝60°

＝，R＝10，∴l＝π（cm）．

S弓＝S扇－S△＝×

π×

10－×

102·

sin60°

＝50cm2.

（2）∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·

R2＝α＝·

＝·

≤，当且仅当α＝，即α＝2（α＝－2舍去）时，扇形面积有最大值.

已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．

如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝＝，从而弧AB的长为l＝|α|·

r＝.

1.若α角与角终边相同，则在[0，2π]内终边与角终边相同的角是________．

，，，

由题意，得α＝＋2kπ（k∈Z），＝＋（k∈Z）．又∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，＝，，，.

2.已知角α（0≤α≤2π）的终边过点P，则α＝__________．

将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.

3.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.

4

设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×

（8－2r）＝－r2＋4r＝－（r－2）2＋4，所以Smax＝4（cm2）．　

4.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．

2

依题意知

解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.

又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，

∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.

1.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．

由－π＜－＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，

∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝.

2.已知α＝，回答下列问题．

（1）写出所有与α终边相同的角；

（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角；

（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？

（1）所有与α终边相同的角可表示为

.

（2）由

（1）令－4π＜2kπ＋＜2π（k∈Z），

则有－2－＜k＜1－.

∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.

故在（－4π，2π）内与α终边相同的角是－、－、.

（3）由

（1）有β＝2kπ＋（k∈Z），则＝kπ＋（k∈Z）．

∴是第一、三象限的角．

3.已知角α的终边经过点P（x，－2），且cosα＝，求sinα和tanα.

因为r＝|OP|＝，所以由cosα＝，得＝，解得x＝0或x＝±

.当x＝0时，sinα＝－1，tanα不存在；

当x＝时，sinα＝－，tanα＝－；

当x＝－时，sinα＝－，tanα＝.

4.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

（1）由圆O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝.

（2）由

（1）可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·

r＝×

10＝，∴S扇形＝lr＝×

×

10＝，而S△AOB＝·

AB·

＝×

10×

＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.

1.

（1）要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．

（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．

2.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．

3.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．

4.利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤

（1）用边界值定出角的终边位置．

（2）根据不等式（组）定出角的范围．

（3）求交集，找单位圆中公共的部分．

（4）写出角的表达式．