一维定态问题文档格式.docx
《一维定态问题文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一维定态问题文档格式.docx（77页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（x>
（3）
但
写出在连接点x=0处连续条件
（4）
（5）
x=a处连续条件
（6）
（7）
（4）（5）二式相除得
（6）（7）二式相除得
从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系
解出，得
（8）
最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：
（乙法）在0<
a区间中波函数表示为
现在和前一法相同写出边界条件：
（在x=0处）（9）
（10）
（在x=a处）（11）
（12）
（9）（10）相除得
（13）
（11）（12）相除得
（14）
写出（13）（14）的反正切关系式，得到：
或
前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。
试将第二法所得的量子化条件，等号左右方取其正切：
左方
此结果与第一法相同。
［3］设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：
求粒子的能级。
（解）本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式
在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。
一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式：
（1）
作自变量变换（）
并将波函数变换：
得u的微分方程：
（2）
但（3）
设
（2）的解是级数：
（4）
将（4）代入
（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。
此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种：
s=0时，（5）
s=1时，（6）
为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。
此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。
因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，，，则在（6）式中取n为最高幂时：
由（3）得
（7）
式中的m=0,1,2,3,4,……
（7）式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是
是归一化常数，是奇阶数厄米多项式。
［4］考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。
（解）本题中设想粒子从左侧入射。
在（x〈0〉区中有入射反射波
（1）
在（x>
0区）中仅有透射波
但
考虑在原点0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有：
即（3）
即（4）
因按题意要计算反射系数Ｒ，
同理（5）
，若求比值，可从（３）（４）消去Ｃ，得到：
［5］试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。
（解）任意的势垒是曲线形的，如果Ｖ（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种几率流密度。
但如果附图所示Ｖ（x）满足二点特性：
（1）
（2）
我们近似地认为当时波函数的解是
时波函数的解是
但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：
在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和，即：
仿前题的算法，不必重复就可以写出：
这里的
（1）
（2）是等效的，将
（1）遍除得：
即得证
将
（2）式遍除得另一种形式：
［6］设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。
（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是
题给波函数可用本征函数展开：
因此是非本征态，它可以有二种本征态，处在
态上的几率是。
这时能量是，处在
态上的几率是，这时能量是。
（乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C，其余同。
按一般原理，将已知函数展开成算符的分立本数谱时，有
在本题中，有
按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1，或3。
，其余与甲法同。
［7］设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：
（解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数：
但
（1）
于是
（2）
为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式：
（3）
此式作为已知的，不证。
将前式遍乘ξ，重复用公式
将此式代入
（2）
此式最后一式第一项。
第三项都和的正交化积分式成比例，都等于零。
第二项和归一化积分成比例；
可以简化
再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：
（是振子质量）
将此遍乘对积分
测不准关系中的不准度是：
=
因m=0,而
[8]设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求
（1）粒子取不同能量几率分布。
（2）能量平均值及涨落。
（解）在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。
但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：
（n=1,2,3,……）
这种解是能量本征态，相应的能量
按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开：
（1）
（1）
利用积分公式：
于
（2）式，可求得：
此式只有为奇数时才不为0，故只有量子数奇数的态
（4）
仍是归一化的，故粒子具有能级：
的几率是
（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算：
（n奇数）（6）
根据福利衰级数可计算（n奇）有几种方法，例如：
（）
上式中令x=0立刻得
代（6）式得
另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值:
能够这样的原因是是厄米算符.
（3）能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果,既的值来计算.
但
关于此求和式也用福利衰级数
（展开区间）此式中可取,
代入得
（补白）：
本题若直接用积分求要利用厄米性：
[9]一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。
（解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式:
利用不定积分公式
用于前一式：
（n奇数）
，（n偶数）
动量几率密度分别是
，（n奇数）
，（n偶数）
[10]写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布。
（解）
（一）主要方法是利用一维动量波函数的变换式：
先写出座标表象的薛定谔方程式：
遍乘，再对坐标求积分，的到一种关系式：
利用分部积分，并使用的边界条件，分别计算（3）
各项：
将（4）（5）代入（3）再加整理后，得到动量表象的薛定谔方程式：
最后一式已将偏导数改成导数，（6）和
（2）的形式相似，因此如果在
（2）式中作以下替代，就得到（6）式：
（二）动量波函数的计算
根据动量表象的薛定谔方程式（6），先设法将（6）变形，形成为和坐标衰象薛定谔方程式形式一样，首先使二阶导数形式相同，将（6）遍除m22得：
（7）
和
（2）比较系数，发现若将动量表象式（3）中换成，（7）式变成：
（8）
但，这样（8）和
（2）形式全同，它们的解的形式也同，但
（2）的解是：
（9）
因此（8）或（7）的解是：
（10）
动量的分布，即动量几率密度是：
（11）
本题是第一章第15题的特例，又因为势能的形式很特殊，所以能用类似方法求解。
假使换了别种形式的势能。
常要用积分方程求解。
[11]设粒子处在对称的双方势阱中
0
（1）在情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并。
（2）证明取有限值情况下，简并将消失。
（解）本题的势场相对于原点0来说是对称的，因此波函数具有字称。
设总能量是E,又设在区间（,）（-a,a）（b,）之中波函数都是零，在区间（a,b），设波函数是：
考虑x=a,x=b二连续条件：
（势阱外面）
从这里得到，因而得,,因而得，n,是整数，满足边界条件的解是:
再考虑区间，设波函数：
（5）
代入在二点的连续条件得
得:
,但整数,因此区间的波函数:
和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是:
同理令,得到一组奇宇称解是
（9）
和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式推得
相减得
是整数,可作为能级编号.
因此能级是
是二度简并的
注:
在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现,和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同.
考察为有限值情形的解,先设E<
设区间中的解是
代入边界条件,的得
因而
或
在的对称区中的解设是
代入边界条件,得
因而
或
（2）
和情形相同,C=A,偶宇称解是
奇宇称解是
在区间内的解满足薛定谔方程
但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定
区间偶宇称解（5）
奇宇称解（6）
这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用（3）和（5）有:
即：
即：
（7）和（8）相除得：
将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件：
注意若使用边界点x=-a上的连续条件,由于对称性得不到新解.
其次求奇宇称的能量量子化条件,为此先写出x=a处连续条件,所用方程式是（4）和（6）
即：
（11）
（12）
相除得：
改写成能量式子:
（13）
（9）和（13）是不同的方程式,它们所决定的能级是不相同的,因此偶宇称波函数（3）和（5）与奇宇称波函数（4）和（6）不具有相同的能量E,它们是非简并的.（9）（13）中E的分立解要用图解法,与有限深势阱类似.
第二种情形是，这种情形可不必作重复计算.因为
令，则
代入（5）（6）得区间的波函数：
偶宇称解（14）
奇宇称解（15）
（a,b）区间的解同于
（1）式的，区间解同于
（2）
升级会员 