圆锥曲线讲义Word下载.docx
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12.(05上海理)若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的方程是__________。
13.(06上海文)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是____________________.
14.(06上海理)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.
15.(06上海理)在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则△OAB的面积是.
16.(07上海春)在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标.
17.(07上海文)以双曲线的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是
18.(06上海春)抛物线y2=4x的焦点坐标为()
A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)
19.(05上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B)
A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在
20.(01上海)设F1、F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.
21.(02上海春)已知F1、F2为双曲线(a>
0,b>
0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线点P,且∠PF1F2=30°
求双曲线的渐近线方向
22.(02上海)已知点,动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线交于D、E两点,求线段DE的长。
23.(03上海春)设分别为椭圆的左、右两个焦点.
(1)若椭圆上的点到两点的距离之和等于4,写出椭圆的方程;
(2)设是
(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:
若是椭圆上关于原点对称的两个点,点是椭圆上任意一点,当直线、的斜率都存在,并记为时,那么是与点位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.
24.(03上海文)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱
宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设
计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为,柱体体积为:
底面积乘以高.本题结果精确到0.1米)
25.(04上海春)已知倾斜角为45°
的直线l过点A(1,-2)和点B,B在第一象限,=3.
(1)求点B的坐标;
(4分)
(2)若直线l与双曲线C:
=1(a>
0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为(4,1),求a的值;
(6分)
(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动,写出点p(t,0)到线段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)
26.(04上海文)如图,直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B)的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.
27.(05上海春)
(1)求右焦点坐标是,且经过点的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的方程是.设斜率为的直线,交椭圆于两点,的中点为.证明:
当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;
(3)利用
(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.
[解]
(1)
[证明]
(2)
[解](3)
28.(05上海文)已知抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
29.(05上海理)如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
30.(06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图:
航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:
当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
31.(06上海文)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值。
(06上海理)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.
(1)求证:
“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出
(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
32.(07上海春)如图,在直角坐标系中,设椭圆的左右两个焦点分别为.过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交,其中一个交点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的一个顶点为,直线交椭圆于另一点,求△的面积.
33.(07上海文)我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中,,.
如图,设点,,是相应椭圆的焦点,,和,是“果圆”与,轴的交点,是线段的中点.
(1)若是边长为1的等边三角形,求该
“果圆”的方程;
(2)设是“果圆”的半椭圆
上任意一点.求证:
当取得最小值时,
在点或处;
(3)若是“果圆”上任意一点,求取得最小值时点的横坐标.
参考答案
[解]
(1)设F2(c,0)(c>
0),P(c,y0),则
。
在直角三角形PF2F1中,∠PF1F2=30°
解法一:
│F1F2│=√3│PF2│,
将c2=a2+b2代入,解得b2=2a2.
解法二:
│PF1│=2│PF2│,
由双曲线定义可知│PF1│-│PF2│=2a,得│PF2│=2a.
[解]设点C(x,y),则
根据双曲线的定义,可知点C的轨迹是双曲线
由
即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y-1=(x-2).
令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)
(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2-4).
∵点P到直线OQ的距离d==,
∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,
∴-4≤x<
4-4或4-4<
x≤8.
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8]上单调递增,
∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.
[解]
(1)设椭圆的标准方程为,,
∴,即椭圆的方程为,
∵点()在椭圆上,∴,
解得或(舍),
由此得,即椭圆的标准方程为.……5分
(2)设直线的方程为,……6分
与椭圆的交点()、(),
则有,
解得,
∵,∴,即.
则,
∴中点的坐标为.……11分
∴线段的中点在过原点的直线上.……13分
(3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线;
又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线,那么直线和的交点即为椭圆中心.……18分
[解]
(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)
设点P(x,y),则={x+6,y},={x-4,y},由已知可得
(x+6)(x-4)+y2=0
则2x2+9x-18=0,x=或x=-6.
由于y>
0,只能x=,于是y=.
∴点P的坐标是(,)
(2)直线AP的方程是x-y+6=0.
设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又-6≤m≤6,解得m=2.
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20-x2=(x-)2+15,
由于-6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值
[解]
(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0),∴kFA=;
MN⊥FA,∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,
∴N的坐标(,).
(1)由题意得,,圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>
2,解得m>
1
∴当m>
1时,AK与圆M相离;
当m=1时,AK与圆M相切;
当m<
1时,AK与圆M相交.
[解]
(1)设曲线方程为y=ax2+,
由题意可知,0=a•64+,∴a=-……4分
∴曲线方程为y=-x2+.……6分
(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知
=1
(1)
y=-x2+
(2)得4y2-7y-36=0,
y=4或y=-(不合题意,舍去)∴y=4……9分
得x=6或x=-6(不合题意,舍去).
∴C点的坐标为(6,4)