江苏省南通扬州泰州高三第三次模拟考试Word格式.docx

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，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数．

11．在中，角，，对边分别是，，，若满足，则角的大小为．

12．在中，，，，是所在平面内一点，若，则面积的最小值为．

13．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为．

14．已知，均为正数，且，则的最小值为．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）设α为锐角，且cos＝.

（1）求cos的值；

（2）求cos的值．

16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中点．

图4

（1）求证：

BC1∥平面A1CD；

（2）若点P在线段BB1上，且BP＝BB1，求证：

AP⊥平面A1CD.

17．（本小题满分14分）如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°

且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2（km），沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP＝θ.

图5

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．

18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y＝±

为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±

2，长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：

x2＋y2＝3的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？

证明你的结论．

19．（本小题满分16分）已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k（n∈N*，k∈R），且a1＝2，a3＋a5＝－4.

（1）若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a4＝－1，求数列{an}的通项公式an.

20．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝ex（a＋4）x－2a－4，其中a∈R，e为自然对数的底数．

（1）关于x的不等式f（x）＜－ex在（－∞，2）上恒成立，求a的取值范围；

（2）讨论函数f（x）极值点的个数．

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝（xi－）2，其中＝i.

棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．

棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．

1．2．13．19.74．

5．146．7．38．

9．10．11．12．

1314．7

[解]　

（1）∵α为锐角，∴α＋∈.

又cos＝，故sin＝.4分

∴cos＝cos＝sin＝.6分

（2）又sin＝－sin＝－cosα＋＝－.8分

故cos＝cos

＝coscos－sinα＋

sin

＝×

－×

＝.14分

[证明]　

（1）连结AC1，设交A1C于点O，连结OD.2分

∵四边形AA1C1C是矩形，∴O是AC1的中点．

在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，

∴OD∥BC1.4分

又∵OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD.6分

（2）∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB.

又∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，交线为AB，

CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面AA1B1B.10分

∵AP⊂平面A1B1BA，∴CD⊥AP.

∵BB1＝BA，BB1＝AA1，BP＝BB1，

∴＝＝，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分

从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°

，

∴AP⊥A1D.

又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，

∴AP⊥平面A1CD.14分

[解]　

（1）在△COP中，

CP2＝CO2＋OP2－2CO·

OPcosθ＝10－6cosθ，

从而△CDP的面积S△CDP＝CP2＝（5－3cosθ）.4分

又因为△COP的面积S△COP＝OC·

OPsinθ＝sinθ，

所以S＝S△CDP＋S△COP－S扇形OBP

＝（3sinθ－3cosθ－θ）＋，0＜θ≤θ0＜π，

cosθ0＝.6分

注：

当DP所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP中，OP＝1，OC＝3，∠CPO＝30°

，CP＝，由正弦定理得＝6sinθ0，cosθ0＝.

（2）存在．

由

（1）知，S′＝（3cosθ＋3sinθ－1），

令S′＝0，得sin＝.

当0＜θ＜θ0时，S′＞0，

所以当θ＝θ0时，S取得最大值.10分

或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈，使得sin＝.当0＜θ＜θ0＜π时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．

此时cos＝－，cosθ0＝cos＝.14分

[解]　

（1）由题意知又a2＝b2＋c2，解得b＝，c＝1，4分

所以椭圆C的方程为＋＝1.6分

（2）点A在椭圆C上．证明如下：

设切点为Q（x0，y0），x0≠0，则x＋y＝3，切线l的方程为x0x＋y0y－3＝0，

当yP＝2时，xP＝，

即P，10分

则kOP＝＝，

所以kOA＝，直线OA的方程为y＝x.

联立解得

即A.13分

因为＋

＝

＝＝1，

所以点A的坐标满足椭圆C的方程．

当yP＝－2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，

所以点A在椭圆C上.16分

[解]　

（1）当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，

所以数列{an}是等差数列.4分

设数列{an}的公差为d，则解得

所以Sn＝na1＋d＝2n＋×

＝－n2＋n.6分

（2）由题意，2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2.

又a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3.

由2an＋1＝an＋an＋2＋2，

得（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝－2.

所以，数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列．

所以an＋1－an＝－2n＋3，10分

当n≥2时，有an－an－1＝－2（n－1）＋3.

于是，an－1－an－2＝－2（n－2）＋3，

an－2－an－3＝－2（n－3）＋3，

…

a3－a2＝－2×

2＋3，

a2－a1＝－2×

1＋3，

叠加得，an－a1＝－2（1＋2＋…＋（n－1））＋3（n－1）（n≥2），

所以an＝－2×

＋3（n－1）＋2＝－n2＋4n－1（n≥2）.14分

又当n＝1时，a1＝2也适合．

所以数列{an}的通项公式为an＝－n2＋4n－1，n∈N*.16分

[解]　

（1）由f（x）＜－ex，得ex＜－ex，

即x3－6x2＋（3a＋12）x－6a－8＜0对任意x∈（－∞，2）恒成立，

即（6－3x）a＞x3－6x2＋12x－8对任意x∈（－∞，2）恒成立，4分

因为x＜2，所以a＞＝－（x－2）2，

记g（x）＝－（x－2）2，因为g（x）在（－∞，2）上单调递增，且g

（2）＝0，

所以a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞）.6分

（2）由题意，可得f′（x）＝ex，可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．

令g（x）＝x3－x2＋ax－a，

①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，

即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．

（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.

（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则g（x1）·

g（x2）≥0，

由g′（x）＝x2－2x＋a＝0有解，得a＜1，且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，

所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，10分

所以g（x1）＝x－x＋ax1－a＝x1（2x1－a）－x＋ax1－a

＝－（2x1－a）－ax1＋ax1－a＝[（a－1）x1－a]，

同理，g（x2）＝[（a－1）x2－a