步步高高三数学大一轮复习 21函数及其表示教案 理 新人教A版Word文档格式.docx
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设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一
个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射.
3.函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.
4.常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax(a>
0且a≠1),y=sinx,y=cosx,定义域均为R.
(5)y=tanx的定义域为.
(6)函数f(x)=xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
[难点正本 疑点清源]
1.函数的三要素
函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定
的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.
2.函数与映射
(1)函数是特殊的映射,其特殊性在于,集合A与集合B只能是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射.
(2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是数集,则这个映射便不是函
数.
3.函数的定义域
(1)解决函数问题,函数的定义域必经优先考虑;
(2)求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:
①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得a<
q(x)<
b即可求出y=f(q(x))的定义域;
②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.
1.(2011·
浙江)设函数f(x)=,若f(a)=2,则实数a=________.
答案 -1
解析 ∵f(x)=,∴f(a)==2,∴a=-1.
2.(课本改编题)给出四个命题:
①函数是其定义域到值域的映射;
②f(x)=+是函数;
③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
④f(x)=与g(x)=x是同一个函数.
其中正确命题的序号有________.
答案 ①②
解析 对于①函数是映射,但映射不一定是函数;
对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数.
对于③函数y=2x(x∈N)的图象不是一条直线;
对于④由于这两个函数的定义域不同,所以它们不是同一个函数.
3.函数y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是________;
值域是________;
其中只与x的一个值对应的y值的范围是________.
答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
4.(2012·
江西)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( )
A.y=B.y=
C.y=xexD.y=
答案 D
解析 函数y=的定义域为{x|x≠0},选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ,k∈Z,故A不对;
选项B中x>
0,故B不对;
选项C中x∈R,故C不对;
选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0},故选D.
5.(2012·
福建)设f(x)=g(x)=则f(g(π))的值为( )
A.1B.0C.-1D.π
答案 B
解析 根据题设条件,∵π是无理数,∴g(π)=0,
∴f(g(π))=f(0)=0.
题型一 函数与映射
例1 有以下判断:
(1)f(x)=与g(x)=表示同一函数;
(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;
(3)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
(4)若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确判断的序号是________.
思维启迪:
可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断.
答案
(2)(3)
解析 对于
(1),由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=
的定义域是R,所以二者不是同一函数;
对于
(2),若x=1不是y=f(x)定义域的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,如果x=1是y=f(x)定义域内的值,
由函数定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x
=1最多有一个交点;
对于(3),f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)
和g(t)表示同一函数;
对于(4),由于f=-=0,
所以f=f(0)=1.
综上可知,正确的判断是
(2)(3).
探究提高 函数的三要素:
定义域、值域、对应关系.这三要素不是独立的,值域可由
定义域和对应关系唯一确定;
因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函
数.特别值得说明的是,对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,
只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函
数值是否相同)不是指形式上的.即对应关系是否相同,不能只看外形,要看本质;
若是用解析式表示的,要看化简后的形式才能正确判断.
已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:
x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由已知可得M=N,故⇒
所以a,b是方程x2-4x+2=0的两根,故a+b=4.
题型二 求函数的解析式
【例2】
(1)已知f=lgx,求f(x);
(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式;
(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.
求函数的解析式,要在理解函数概念的基础上,寻求变量之间的关系.
解
(1)令t=+1,则x=,
∴f(t)=lg,即f(x)=lg.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,
∴f(x)=x2+2x+c.
又∵方程f(x)=0有两个相等实根,
∴Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.
(3)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①
以-x代替x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②
由①②消去f(-x)得,
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),x∈(-1,1).
探究提高 函数解析式的求法
(1)配凑法:
由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;
(2)待定系数法:
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(3)换元法:
已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(4)消去法:
已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(2012·
武汉模拟)给出下列两个条件:
(1)f(+1)=x+2;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
解
(1)令t=+1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3.
∴f(x)=ax2+bx+3,
∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴,∴,
∴f(x)=x2-x+3.
题型三 函数的定义域
【例3】
(1)函数y=的定义域为______________.
(2)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( )
A.[0,1]B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
抽象函数的定义域要
注意自变量的取值和各个字母的位置.
答案
(1)(-1,1)
(2)B
解析
(1)由,得-1<
x<
1.
(2)依已知有
解之得0≤x<
1,定义域为[0,1).故选B.
探究提高
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.
(2)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域,是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].
(1)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是
__________.
答案
解析 f(x)的定义域为R,即mx2+4mx+3≠0恒成立.
①当m=0时,符合条件.
②当m≠0时,Δ=(4m)2-4×
m×
3<
0,
即m(4m-3)<
0,∴0<
m<
.
综上所述,m的取值范围是.
(2)已知f(x)的定义域是[0,4],则f(x+1)+f(x-1)的定义域是__________.
答案 [1,3]
解析 由,得1≤x≤3.
故f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3].
题型四 分段函数
【例4】 )定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2014)
的值为________.
注意到2014较大,较难代入计算求出值,所以可通过x取较小数值探究函
数f(x)值的规律性,再求f(2014).也可以先用推理的方法得出f(x)的规律性,再求f(2014).
答案 1
解析 方法一 由已知得
f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0,
f
(1)=f(0)-f(-1)=-1,f
(2)=f
(1)-f(0)=-1,
f(3)=f
(2)-f
(1)=0,f(4)=f(3)-f
(2)=1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,
f(7)=f(6)-f(5)=-1,f(8)=f(7)-f(6)=-1,…,
所以f(x)的值以6为周期重复出现,
因此,f(2014)=f(4)=1.
方法二 ∵x>
0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),
∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).
两式相加得f(x+1)=-f(x-2),
∴f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
∴f(x)的周期为6.
因此,f(2014)=f(6×
335+4)=f(4)=1.
探究提高 求分