步步高高三数学大一轮复习 21函数及其表示教案 理 新人教A版Word文档下载推荐.docx

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设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一

个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射．

3．函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．常见函数定义域的求法

（1）分式函数中分母不等于零．

（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0.

（3）一次函数、二次函数的定义域为R.

（4）y＝ax（a>

0且a≠1），y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.

（5）y＝tanx的定义域为.

（6）函数f（x）＝xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}．

[难点正本　疑点清源]

1．函数的三要素

函数的三要素是：

定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定

的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．

2．函数与映射

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．

（2）映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函

数．

3．函数的定义域

（1）解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑；

（2）求复合函数y＝f（t），t＝q（x）的定义域的方法：

①若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式得a<

q（x）<

b即可求出y＝f（q（x））的定义域；

②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）的值域即为f（t）的定义域．

1．（2011·

浙江）设函数f（x）＝，若f（a）＝2，则实数a＝________.

答案　－1

解析　∵f（x）＝，∴f（a）＝＝2，∴a＝－1.

2．（课本改编题）给出四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；

②f（x）＝＋是函数；

③函数y＝2x（x∈N）的图象是一条直线；

④f（x）＝与g（x）＝x是同一个函数．

其中正确命题的序号有________．

答案　①②

解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数；

对于②f（x）是定义域为{2}，值域为{0}的函数．

对于③函数y＝2x（x∈N）的图象不是一条直线；

对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数．

3．函数y＝f（x）的图象如图所示，那么，f（x）的定义域是________；

值域是________；

其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

4．（2012·

江西）下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为（　　）

A．y＝B．y＝

C．y＝xexD．y＝

答案　D

解析　函数y＝的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；

选项B中x>

0，故B不对；

选项C中x∈R，故C不对；

选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.

5．（2012·

福建）设f（x）＝g（x）＝则f（g（π））的值为（　　）

A．1B．0C．－1D．π

答案　B

解析　根据题设条件，∵π是无理数，∴g（π）＝0，

∴f（g（π））＝f（0）＝0.

题型一　函数与映射

例1　有以下判断：

（1）f（x）＝与g（x）＝表示同一函数；

（2）函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

（3）f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；

（4）若f（x）＝|x－1|－|x|，则f＝0.

其中正确判断的序号是________．

思维启迪：

可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．

答案　

（2）（3）

解析　对于

（1），由于函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝

的定义域是R，所以二者不是同一函数；

对于

（2），若x＝1不是y＝f（x）定义域的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，

由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x

＝1最多有一个交点；

对于（3），f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）

和g（t）表示同一函数；

对于（4），由于f＝－＝0，

所以f＝f（0）＝1.

综上可知，正确的判断是

（2）（3）．

探究提高　函数的三要素：

定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由

定义域和对应关系唯一确定；

因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函

数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，

只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函

数值是否相同）不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；

若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．

已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：

x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

解析　由已知可得M＝N，故⇒

所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.

题型二　求函数的解析式

【例2】　

（1）已知f＝lgx，求f（x）；

（2）设y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两个相等实根，且f′（x）＝2x＋2，求f（x）的解析式；

（3）定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．

求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．

解　

（1）令t＝＋1，则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg.

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

则f′（x）＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，

∴f（x）＝x2＋2x＋c.

又∵方程f（x）＝0有两个相等实根，

∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f（x）＝x2＋2x＋1.

（3）当x∈（－1,1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）．①

以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）．②

由①②消去f（－x）得，

f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），x∈（－1,1）．

探究提高　函数解析式的求法

（1）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式；

（2）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；

（3）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（4）消去法：

已知关于f（x）与f或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

（2012·

武汉模拟）给出下列两个条件：

（1）f（＋1）＝x＋2；

（2）f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x＋2）－f（x）＝4x＋2.试分别求出f（x）的解析式．

解　

（1）令t＝＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2.

则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝3.

∴f（x）＝ax2＋bx＋3，

∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋3）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

∴，∴，

∴f（x）＝x2－x＋3.

题型三　函数的定义域

【例3】　

（1）函数y＝的定义域为______________．

（2）若函数y＝f（x）的定义域是[0,2]，则函数g（x）＝的定义域是（　　）

A．[0,1]B．[0,1）

C．[0,1）∪（1,4]D．（0,1）

函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

抽象函数的定义域要

注意自变量的取值和各个字母的位置．

答案　

（1）（－1,1）　

（2）B

解析　

（1）由，得－1<

x<

1.

（2）依已知有

解之得0≤x<

1，定义域为[0,1）．故选B.

探究提高　

（1）求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

（2）已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域，是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．

（1）若函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围是

__________．

答案　

解析　f（x）的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．

①当m＝0时，符合条件．

②当m≠0时，Δ＝（4m）2－4×

m×

3<

0，

即m（4m－3）<

0，∴0<

m<

.

综上所述，m的取值范围是.

（2）已知f（x）的定义域是[0,4]，则f（x＋1）＋f（x－1）的定义域是__________．

答案　[1,3]

解析　由，得1≤x≤3.

故f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为[1,3]．

题型四　分段函数

【例4】　）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝则f（2014）

的值为________．

注意到2014较大，较难代入计算求出值，所以可通过x取较小数值探究函

数f（x）值的规律性，再求f（2014）．也可以先用推理的方法得出f（x）的规律性，再求f（2014）．

答案　1

解析　方法一　由已知得

f（－1）＝log22＝1，f（0）＝log21＝0，

f

（1）＝f（0）－f（－1）＝－1，f

（2）＝f

（1）－f（0）＝－1，

f（3）＝f

（2）－f

（1）＝0，f（4）＝f（3）－f

（2）＝1，

f（5）＝f（4）－f（3）＝1，f（6）＝f（5）－f（4）＝0，

f（7）＝f（6）－f（5）＝－1，f（8）＝f（7）－f（6）＝－1，…，

所以f（x）的值以6为周期重复出现，

因此，f（2014）＝f（4）＝1.

方法二　∵x>

0时，f（x）＝f（x－1）－f（x－2），

∴f（x＋1）＝f（x）－f（x－1）．

两式相加得f（x＋1）＝－f（x－2），

∴f（x＋3）＝－f（x），f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），

∴f（x）的周期为6.

因此，f（2014）＝f（6×

335＋4）＝f（4）＝1.

探究提高　求分