《线性代数》试题.docx

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《线性代数》试题

《线性代数》试题

1.已知，求

解：

2.用克莱姆则求解方程组

解：

3.计算行列式

解：

4.求齐次线性方程组，的基础解系以及通解。

解：

对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩阵，有

便得即得基础解系，

令及对应有及

并由此得到通解

5.计算

解：

6.判断下列实矩阵能否化为对角阵？

解：

由

得

将代入，得方程组

解之得基础解系

同理，对由

求得基础解系

由于，所以线性无关

即A有3个线性无关的特征向量，因而A可对角化。

7.问取何值时，齐次方程组有非零解？

解：

若齐次方程组有非零解，则D=0

故：

，或时齐次方程组有非零解。

8.已知，证明向量组与等价。

证明：

要证存在2阶方阵X,Y,使，先求X.

类似于线性方程求解的方法，对增广矩阵施行初等行变换变为行最简单矩阵：

即得：

因，知可逆，取，即为所求。

因此向量组等价。

9.设a,b为两个已知的n维向量，集合，试判断集合是否为向量空间。

解：

V是一个向量空间，因为若则有

这个向量空间称为由向量a，b所生成的向量空间。

10.设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。

解：

取；

再把它们单位化，取

即合所求.

11.求一个正交变换，把二次型化为标准型。

解：

二次型的矩阵为

它的特征多项式为，

计算特征多项式：

把二，三，四列都加到第一列上，有

把二，三，四行分别减去第一行，有

于是A的特征值为.

当时，解方程，

得基础解系，单位化即得.

当时，解方程

可得正交的基础解系

单位化即得

于是正交变换为

且有

12.计算行列式

解：

按照第一行展开得：

13.已知向量组线性无关，，试证线性无关。

证明：

由于此方程组的系数行列式

故方程组只有零解，所以向量组线性无关。

14.对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵。

解：

第一步求A的特征值

得

第二步由，求出A的特征向量

对，由，得

解之得基础解系

对由，得

解之得基础解系

对由，得

解之得基础解系

第三步将特征向量正交化

由于是属于A的3个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交

令

第四步将特征向量单位化

得

作

则

得特征值

对，由，得基础解系

对由，得基础解系，

恰好正交，

所以两两正交。

再将单位化，令得，得

于是得正交阵

则