《线性代数》试题.docx

1、线性代数试题线性代数试题1.已知，求 解：2.用克莱姆则求解方程组 解： 3.计算行列式 解： 4.求齐次线性方程组，的基础解系以及通解。解：对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩阵，有便得 即得基础解系 ，令及对应有及并由此得到通解5. 计算 解：6.判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解：由得将代入， 得方程组解之得基础解系同理，对由 求得基础解系 由于，所以线性无关即A有3个线性无关的特征向量，因而A可对角化。7.问取何值时，齐次方程组有非零解？ 解： 若齐次方程组有非零解，则D=0故： ，或时齐次方程组有非零解。8.已知，证明向量组与等价。证明：要证存在2阶方阵X,Y,使，先求X.类似于线

2、性方程求解的方法，对增广矩阵施行初等行变换变为行最简单矩阵： 即得： 因，知可逆，取，即为所求。因此向量组等价。9.设a,b为两个已知的n维向量，集合 ，试判断集合是否为向量空间。解：V是一个向量空间，因为若则有 这个向量空间称为由向量a，b所生成的向量空间。10.设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解：取； 再把它们单位化，取 即合所求.11.求一个正交变换，把二次型化为标准型。 解：二次型的矩阵为 它的特征多项式为，计算特征多项式：把二，三，四列都加到第一列上，有把二，三，四行分别减去第一行，有于是A的特征值为. 当时，解方程，得基础解系，单位化即得.当时，解方程 可得正交的基础解

3、系单位化即得于是正交变换为且有12.计算行列式 解：按照第一行展开得：13.已知向量组 线性无关， ，试证线性无关。证明：由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解，所以向量组线性无关。14.对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵。解：第一步 求A的特征值得 第二步 由，求出A的特征向量 对，由， 得解之得基础解系 对由， 得解之得基础解系 对由， 得解之得基础解系第三步 将特征向量正交化 由于是属于A的3个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交 令 第四步 将特征向量单位化 得 作则 得特征值 对，由， 得基础解系对由， 得基础解系 ， 恰好正交，所以两两正交。再将单位化，令得，得于是得正交阵 则