二次函数与代数综合Word格式.docx

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授课时间

教学目标

能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；

能从图象上认识二次函数的性质；

会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；

会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

教学内容

模块一二次函数与一元二次方程

1.求二次函数的图象与轴的交点坐标，就是令，求中的值的问题。

此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与轴的交点的个数。

2.当中的时，二次函数的图象与轴有两个交点；

当中的时，二次函数的图象与轴有一个交点；

当中的时，二次函数的图象与轴没有交点；

3.抛物线与轴的两个交点之间的距离公式

【例1】求二次函数与轴的交点坐标？

【巩固】已知抛物线与轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，且抛物线经过点，求二次函数的解析式

【巩固】已知抛物线与轴有两个交点、（点在点左侧）

⑴用、、表示、两点的坐标

⑵用、、表示线段的长度。

【例2】已知二次函数的图象与轴交与、两点，与轴交于点，求的面积

【例3】已知抛物线，求：

（1）为何值时，抛物线与轴相交于两点，仅相交于一点、不想交？

（2）为何值时，抛物线与轴的两个交点，分别在原点的两侧？

【巩固】已知抛物线与轴有两个交点，且这两个交点分别在直线的两侧，则的取值范围是多少？

【巩固】为何值时，抛物线与轴没有交点？

【例4】若一元二次方程的两根为，，那么二次函数的对称轴是（）

A.B.C.轴D.不能确定

【例5】抛物线与轴交于和两点，已知，要使抛物线经过原点，至少应将它向右平移_______个单位

【例6】函数的图象与轴交点的情况是（）

A.时，有一个交点B.时，有两个交点

C.时，有两个交点D.不论为何值，均由交点

【例7】已知抛物线经过点、，直线经过点并且与抛物线的对称轴交于点，则点的坐标是（）

A.B.C.D.无法确定

【例8】已知抛物线（、是不为0的常数）的顶点是，抛物线的顶点是

⑴判断点是否在抛物线上，为什么？

⑵如果抛物线经过点

①求的值；

②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点能否构成直角三角形？

模块二二次函数与不等式

1.二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下：

（其中）

判别式

情况

抛物线

与轴的交点

不等式

的解集

有两个交点

或

有一个交点

无解

无交点

全体实数

【例9】已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是（）

A．的函数值小于B．的函数值大于

C．的函数值等于D．的函数值与的大小关系不确定

【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况．他们作了如下分工：

小明负责找值为时的值，小亮负责找值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）

A．小明认为只有当时，的值为.

B．小亮认为找不到实数，使的值为.

C．小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值

D．小花发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值.

【例10】二次函数的图象开口向上，顶点在第四象限内，且与轴的交点在轴下方，则点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【例11】已知抛物线（）经过点，且满足，以下结论：

①；

②；

③；

④。

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例12】抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（）

A.或B.或C.D.

【例13】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.

⑴求的值；

⑵当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

⑶在⑵的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：

当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.

【例14】阅读材料，解答问题。

例：

用图象法解一元二次不等式：

设，则是的二次函数

∵∴抛物线开口向上

又∵当时，,解得，

∴的解集为或

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式的解集是

（2）仿照上例，解一元二次不等式。

模块三二次函数与一次函数、反比例函数综合

1.一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组的解的数目来确定：

⑴方程组有两组不同的解时与有两个交点；

⑵方程组只有一组解时与只有一个交点；

⑶方程组无解时与没有交点.

【例15】二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）

【例16】二次函的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）

【巩固】已知，两点关于轴对称，且点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，设点的坐标为，则二次函数（）

A．有最小值，且最小值是B．有最大值，且最大值是

C．有最大值，且最大值是D．有最小值，且最小值是

【例17】已知方程的两个实根一个小于，一个大于，求的取值范围．

【例18】如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．

⑴求正比例函数和反比例函数的解析式；

⑵把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

⑶第⑵问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于、，求过、、三点的二次函数的解析式；

⑷在第⑶问的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使四边形的面积与四边形的面积满足：

？

若存在，求点的坐标；

若不存在，请说明理由．

【例19】已知二次函数的图象经过三点，，。

⑴求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；

⑵若反比例函数图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，落在两个相邻的正整数之间。

请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；

⑶若反比例函数的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足，试求实数的取值范围。

课堂检测：

1.若二次方程在区间内仅有较大实根，另一根不等于，求的取值范围．

2.如图，已知二次函数的图象经过三点、、，它的顶点为，又正比例函数的图象与二次函数相交于两点、，且是线段的中点．

⑴求该二次函数的解析式，并求出函数顶点的坐标；

⑵已知点，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围；

⑶当时，求四边形的面积的最小值．