精品高三数学破题方法比较大小常用方法Word格式.docx
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利用函数，在定义域内单调递增，因为0.6<
1.5，则a<
所以b<
c，本题选C
方法二：
用对数来研究，对a,b,c同取对数
，且容易得到a>
由此，同样的到答案C
上面的题目可以用函数方法来比较大小，我们看下面的题目，用函数或中间量的方法，就很难比较大小了，这时就显示出对数法比大小的优势。
2.比较的大小
本题中，使用构造中间量的方法，可得
注意：
此时中间量并不能判断出两数大小，所以我们转换思路，用取对数的方法，进行比较
设
设
同取对数有
所以
所以x<
y，即
练：
若a>
0,b>
0,比较的大小
对x，y分别取对数得
则得到：
总结：
1.对数法比大小，先取对数，比较对数值的大小，得到真数的大小
2.只适用于比较两个正数的大小，遇到负数需要先做出转化
练习：
1.比较的大小
答案：
1.解：
所以，
2.解：
所以
反证法比大小是一种不太常见的比较方式，但是却是一种比较常见的思维方式——正难则反，当我们用了很多方法，都无法完成正面证明时，就该利用反证法的思想，去思考问题。
来看例题：
设函数.若存在b∈[0,1]使f（f（b））=b成立,证明f（b）=b.
在我们无从入手时，不妨先研究函数的性质，可以先看根号内的函数。
令
，即g（x）在定义域内单调递增，由此可知f（x）在定义域内单调递增。
这时，我们可以利用函数的单调性推理出矛盾，从而证明结论：
若，得到矛盾
则，
回顾一下这个题，最迷茫的点应该是f（f（b））=b这个条件如何使用？
当我们不知道如何下手时，可以去先研究一下函数的性质，甚至代入一些值，计算结果，找寻规律。
最后通过对函数单调性的研究，确定了使用反证法的思想，去证明矛盾。
对于这类题目，希望同学们能够多去看，多去思考，积累做题的感觉。
设0<
1，0<
1，且，判断a和b的大小
对两边同取，得
若根据指数函数性质，
0<
1时，
，得到矛盾
同理，
总结：
通过反证法比较大小，是不太常见的一种方法，但这种方法给了我们一种启示，即如果我们正面证明问题时遇到很大的困难，是不是能够想到换一条路去试试看？
同时，在我们做题过程中，如果推理出了矛盾，也并不一定就是坏事，当我排除了所有的“不可能”的情况后，剩下的就是“可能”的情况了。
1.已知，证明：
2.设函数f（x）是奇函数，且在R上单调递增，设a,b∈R，且，求证：
1.假设
即与矛盾，所以
2.假设则
因为函数单调递增，
又因为函数是奇函数，即与已知矛盾，所以
当两个数或式直接比较大小比较困难时，我们可以尝试引用中间量辅助判断。
中间量是一种辅助手段，选取的中间量也是因题而异，要多观察题目本身的特点，经过适当的转化，找到恰当的中间量，完成判断。
同学们要注意多体会，多积累经验。
先看例题：
观察题目可发现两数，底数、指数都不同，但可以根据指数函数的单调性，构造中间量，与数1先进行比较。
在研究指数函数时，总会提到，即指数函数过定点（0,1），更深入一些理解，这个定点也是一个重要的分界点，把函数值分为了大于1，和小于1两部分。
（2）比较的大小
底数、指数都不同，构造中间量比大小，先与数1，0先比较。
注意：
的值与前两个值的区别，它是一个负数开奇次方，结果仍为负值，而前两个值由指数函数的知识可知，一定大于0，由此可以判断一定是最小的。
这里就提示大家，如果在做题中，我们一眼就能识别一个数或一个式的取值区间（比如这个题目里面，是否大于0），对我们的做题是有很大帮助的，同学们要多去积累这种做题的感觉。
上面讲的两个题，都是用比较常见的0,1作为桥梁进行大小比较，然而有些值并不能用0,1来作为中间量进行比较，但是我们仍然能够找到其它的中间量。
一起来看另一组题目：
换底公式的使用
底数、指数都不同，但可以根据函数的单调性，构造中间量，与数0，1先进行比较。
要注意，这两个值在指对数函数中的关键作用。
练习题：
1.设，则（）
A.b>
a>
B.c>
b>
C.a>
c>
D.a>
2.设则（）
1.
所以a>
c，选D
2.
利用作差的方法，将两个数或两个式子比大小转化为差值与0的关系。
是比较大小中非常重要的一种方法。
需要大家灵活掌握。
比较的大小
两式作差，可得
我们用分子有理化的技巧，化简两项差，并得以判断符号。
归纳总结：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b的符号；
1.比较大小中的最重要的等价转化，注意等价的性质。
2.转化为a-b时，要注意用不同的方法转化，目的是判断其与0的大小。
练：
求证：
（1）a2＋b2≥2（a－b－1）；
（2）若a>
c，则bc2＋ca2＋ab2<
b2c＋c2a＋a2b.
（1）a2＋b2－2（a－b－1）
＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0
∴a2＋b2≥2（a－b－1）
通过作差→配方→判断符号→得出结论
（2）若a>
＝（bc2－c2a）＋（ca2－b2c）＋（ab2－a2b）
＝c2（b－a）＋c（a－b）（a＋b）＋ab（b－a）
＝（b－a）（c2－ac－bc＋ab）
＝（b－a）（c－a）（c－b），
∵a>
c，∴b－a<
0，c－a<
0，c－b<
0.
∴（b－a）（c－a）（c－b）<
∴bc2＋ca2＋ab2<
通过作差→因式分解→判断符号→得出结论．
（1）作差比较法，可以判断两个实数或两个代数式的大小．
（2）判断差的符号，恒等变形的方法有分子有理化、配方、因式分解等．
练习题：
1.比较的大小，其中.
2.设，比较的大小.
1.两式作差，可得
当
2.两式作差，可得
当
比较大小的方法有很多，利用作商的方法，转化为比较商式与1的大小，也是非常常用的一种方法。
同学们要通过今天的例题分析，注意观察，总结，什么样的数与式可以考虑用作商法比较大小。
先来看例题：
总结一般规律：
要注意：
b的取值范围，注意与作差法的区别
1.设a>
0，b>
0，求证：
证明：
当a=b时，显然有
当a>
0时，
当b>
由指数函数的单调性，有
综上可知，对任意实数a，b，都有
2.已知a＞2，求证：
loga（a－1）＜log（a＋1）a.
由于
即
在作商比较法中是不正确的，与a、b的符号有关,其中：
要对a、b的符号作出判断
1.比较的大小
2.已知，比较的大小关系
答案：
1.
则，当n>
9时，，
当n=9时，，
当n<
9时，，
2.
因为，所以
因为，所以
因为，所以
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