115多元函数微分学的应用Word下载.docx
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1.2空间曲面表示的空间曲线的切线与法平面方程
设空间曲线的方程为:
为上一点,且Jacobi矩阵
在点是满秩的，即.下面求曲线在点的切线和法平面.
因为矩阵J满秩,不妨设在点有
根据隐函数存在定理,即有,
由隐函数的求导法则,设
则
所以曲线在点的切线和法平面为：
（5）
（6）
例1：
求下列曲线在指定点的切线与法平面方程.
（1）,在对应的点处
解:
在时,,切向量为
即切向量为.
所以切线方程为
即
法平面方程为
即平面.
（2）在点
设,则切线的方向向量即切向量为
即切向量为
由式（5）得切线方程
即.
由式（6）得法平面方程为
即
2曲面的切平面与法线
若将曲线视为点的运动轨迹,则曲面就可以视为曲线的运动轨迹.
2.1曲面方程表示为时的切平面与法线
曲面方程的一般表示为
这里只考虑在D上具有连续偏导数，且Jacobi矩阵在曲面上恒为满秩，即的情况（即曲面为光滑曲面）.
设由方程确定的曲面为S,并设为S上一点,曲面S上过点的任意一条光滑曲线,,且.因为曲线在曲面S上,所以
将上述方程对在求导,并设
即得
也就是
这说明曲面S上过点的任意一条光滑曲线在点的切线的切向量都与向量垂直,所以这些切线都在一张平面上,这张平面称为曲面S在点的切平面.它的法向量称为S在点的法向量,从而S在点的切平面方程为
（7）
过点且与切平面垂直的直线方程称为S在点的法线,它的方程为
（8）
2.2曲面方程表示为时的切平面与法线
设曲面S的方程为,且在可微,即
则曲面S在点的切平面方程为
（9）
法线方程
（10）
2.3参数方程时的曲面的切平面与法线
曲面S的方程表示成以下参数方程形式
其中是中的区域,且假设Jacobi矩阵
在上恒为满秩.
设为S上一点,其中,因为是满秩的,所以不妨假设,则由隐函数存在定理知在某个邻域上唯一确定隐函数
代入,得到曲面S在附近的表达式:
又z是关于x,y的函数，而x,y又是关于u,v的函数，所以有
从而解得
由（9）和（10）式,得曲面S在点的切平面方程
或
（11）
（12）
例2求下列曲面在指定点的切平面与法线方程.
（1）,在点;
设曲面方程为,则
即切平面法向量为,所以切平面方程为
法线方程为
（2）在点;
例3求曲面与平面平行的切平面方程.
由题意知切平面的法向量为,所以只要求出曲面上一点,就可以求出切平面方程.
又由知切平面的法向量为,所以有
从而解得,切平面方程为
即.
§
11.6二元函数的极值
无条件极值
利用一元函数的导数可以求函数的极值,对于二元函数来说,我们也可以利用函数的偏导数来讨论二元函数的极值.
定义1设二元函数在点的邻域D内有定义,若，有或，则称为函数的极大值点或极小值点，极大值点或极小值点的函数值称为函数的极大值或极小值.
极大值点或极小值点统称为极值点,极大值或极小值统称为极值.
哪些点有可能成为函数极值点?
即成为函数的极值点的必要条件是什么?
由一元函数的极值点的必要条件不难得到以下结论,它可以看成是Fermat引理在多元函数中的推广.
定理1（极值的必要条件）设为函数的极值点,且函数在存在偏导数,则
使函数的所有一阶偏导数为0的点称为函数的稳定点,即
使的点为函数的稳定点.
由定理1可知,对二元可微函数而言,极值点是稳定点;
那么函数的稳定点是极值点吗?
请看下例.
例1求函数的稳定点,并讨论该稳定点是否为极值点?
由得,所以为函数的稳定点；
因为，但在的任意邻域内，当时，总有，当时，总有，所以不是函数的极值点.
例1指出稳定点不一定是极值点.
例2求函数的极值点和稳定点.
因为,都有,所以轴上的每一点都是函数的极小值点,但由偏导数的定义有
上述极限不存在,所以在轴上的每一点处关于的偏导数不存在,当然就没有稳定点.故此时极值点不是稳定点.
那么什么样的稳定点才是极值点,极值的充分条件是什么?
定理2（极值的充分条件）设二元函数有稳定点,且在点的邻域内存在二阶连续偏导数,令
则
（1）当时,
（i）若（或）,则是函数的极小值点;
（ii）若（或）,则是函数的极大值点;
（2）当时,则不是函数的极值点;
（3）当时,则可能是函数的极值点,也可能不是函数的极值点.
证明:
因为是函数的稳定点,所以有
下面我们将在的邻域内讨论的符号,为此当充分小时,将在展开Taylor公式有
其中.
又因为在点的邻域内存在二阶连续偏导数,所以当时,有
（4）
将
（2）-（4）式代入
（1）式得
其中是比高阶的无穷小量（）,因此当时,的符号由决定,又因为与不能同时为0,所以不妨设,有
令,则的符号由的符号决定,由一元二次方程根的判别式有
（1）若（简记为）,方程无解,
（i）若（或）,相应抛物线开口向上,则是函数的极小值点;
（ii）若（或）,相应抛物线开口向下,则是函数的极大值点;
（2）当时,方程有两个不同的解,则不是函数的极值点;
（3）当时,讨论如下三个函数
易知是每个函数唯一的稳定点,且有,但
当时,有时,有,所以是的极小值点,是的极大值点,但不是的极值点.所以有
当时,则可能是函数的极值点,也可能不是函数的极值点.
例2求下列函数的极值.
（1）
先求函数的稳定点:
由得稳定点为:
再求二阶偏导数:
列表求及的值:
C
由表和定理2可知都不是的极值点，是的极值点，且当即时，为的极大值点,极大值为;
当即时,为的极小值点,极小值为.
（2）
所以,从而不能用定理2来求函数的极值.此时只能用极值的定义来讨论极值.
因为,,所以在曲线上有,此时
当时,;
当时,,所以不是的极值点.
例3设函数,证明函数有无穷多个极大值点,但没有极小值点.
证明:
先求函数的所有稳定点:
得稳定点为和,.
再求二阶偏导数在稳定点的值:
同理:
所以,从而由定理2知为函数的极大值点;
从而由定理2知不是函数的极值点;
所以函数有无穷多个极大值点,即,;
但没有极小值点.
由极值的定义知,极值是函数在某点的局部性概念,要求函数在区域上的最大值和最小值,与一元函数的问题一样,除了求出函数在区域内的全部极值外,还要求出函数在区域的边界上的最大值和最小值,以及偏导数不存在的点的函数值,将所有这些函数值放在一起最大的即为函数的最大值,最小的即为函数的最小值.一般来说,求函数在区域的边界上的最大值和最小值比较困难,但有些实际问题,根据问题的实际意义,函数在区域的边界上的最大值和最小值必在区域内部取到,又在区域内只有一个稳定点,则函数必在稳定点取到最大值或最小值.
例4用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板？
设水箱的长、宽、高分别为,因为,所以,从而水箱的表面积为
其中定义域.
要使钢板最省,即求表面积在区域内的最小值.
由得稳定点.
从而由定理2知是函数的极小值点,此时,极小值为.
所以当水箱的长、宽、高分别为,,时所需钢板最省.
注:
在此例中当我们求出唯一的稳定点,根据问题的实际意义,我们已经可以判断即为所求最小值点,下面的解答只是验证为最小值点.
例5在以为顶点的三角形所围成的闭区域上找一点,使它到三个顶点的距离平方和分别为最大和最小,并求最大值和最小值.
如图11-5所示,设上的一点为,则它到三顶点的距离的平方和为
其中定义域为.
先求在内的极值.
得在内唯一稳定点.
且,从而由定理2知是函数在内的极小值点,极小值为.
再求在边界上的最大值和最小值.
（i）在边上，因为,所以,这是关于的一元二次函数,配方得
当时,函数在,即点时取最大值,最大值为;
在时,取最小值,最小值为.
（ii）同理在边上，函数在,即点时取最大值,最大值为;
（iii）在边上，因为,所以,这是关于的一元二次函数,配方得
当时,函数在或,即在点或点时取最大值,最大值为;
综上所述,点或点到的三顶点的距离平方和最大,最大为;
到的三顶点的距离平方和最小,最小为.
例6（最小二乘法）设通过观测和实验得到个数对,其中是在测得的值,在坐标平面上,这个数对对应个点,设它们大体上分布在一条直线附近,求一条直线,使其在总体上与这个数对接近程度最好.
解:
将这个代入直线方程中,得到的函数值与相应的作比较得
则称为到直线的偏差,显然可能为正,可能为负,也可能为0,为了消除符号的影响,我们考虑偏差的平方,并设
则的大小在总体上刻画了这个点与直线的接近程度,为了使其接近程度最好,也就是求的最小值.通过求的最小值确定,从而确定直线方程.这种确定直线方程的方法叫最小二乘法.
下面求最值.
易知函数的定义域为,先求一阶偏导,由（5）式有
即（6）
即（7）
由（6）和（7）式得稳定点为
（8）
根据问题的实际意义,二元函数在内必有最小值,又只有唯一稳定点,所以二元函数必在取到最小值.于是所求直线方程为
其中与为（8）式和（9）式的表达式.
用极值的充分条件也可以进一步判断为的极小值,在此从略.
最小二乘法广泛应用于实际生活中,物理学、化学、生物学、医学、经济学和商业统计等方面都要用到它来确定经验公式.在数学上,数理统计中的回归分析方法就要用到这个工具,熟悉计算机的读者会发现,许多计算机软件也是用这种方法来作出拟合曲线的.
下面我们用最小二乘法来解决以下问题。
例7设通过观察知道，红铃虫的产卵数与温度有关，下面是一组实验
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