第四节 信号分析.docx

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第四节信号分析

第四章信号分析

为诊断故障而测的信号多是时间历程函数，为了更充分的利用所测信号，有必要从多个侧面对它进行加工处理，这个过程就是信号分析与处理。

目前信号分析处理的方法很多，在这里详细介绍了目前已经应用和正在应用研究中的信号处理方法，包括时域分析、频域分析、时间序列分析、Winger分析、短时Fourier分析、小波分析、分形几何、混沌。

信号从不同角度可以有不同的划分，不同的分类标准反映了信号的不同侧面。

根据能否用明确的数学表达式描述信号，可将信号分为：

确定性信号和不确定性信号—随机信号。

确定性信号能用数学表达式进行描述，其又可分为周期性信号和非周期性信号。

随机信号是指单次试验发生与否不能事先确定，而在大量的重复试验中表现出某种统计特性的一类信号。

根据统计特性的不同，又可将随机信号分为平稳随机信号和非平稳随机信号。

平稳随机信号是指其统计特性不随时间起点的变化而改变的一类信号，其中，若信号的各阶矩都不随时间的变化而改变，则此信号是严平稳（强平稳的）；如果信号的统计特性中只有均值和方差不随时间的变化而改变，则此信号是宽平稳的（弱平稳的）。

4.1时域分析

从机组监测系统采集的信号首先是时间上的函数，因此对信号进行时域上的处理具有很直接的物理意义。

若对这样的时间历程函数直接实行各种运算的结果仍属于时域范畴，那么这样的分析运算就称为时域分析。

时域分析有统计特征量分析、相关分析等。

4.1.1统计特征量分析

统计特征参量分析又称为信号幅值域分析，在各态历经的假设前提下，对随机过程的分析便变为对其任一样本的统计分析。

1.概率与概率分布

概率密度函数定义为信号幅值为的概率，其数学表达式为

（4-1）

式中--样本长度

--信号幅直落在和之间的时间和。

对于正态分布过程，其概率密度函数为

（4-2）

式中--数学期望

—标准差

概率密度函数可直接用于机组的故障诊断。

机组运行过程中正常和异常的振动信号的概率密度不一样。

概率分布函数是信号幅值不大于某一值x的概率，其数学表达式为

（4-3）

2.有效值（均方根值）、均方值以及均值

对振动而言，其有效值与振动能量相对应，其数学表达式为

（4-4a）

其离散化计算公式为（4-4b）

均值又称一次矩，它描述了信号的平均变化情况，代表信号的静态部分或直流分量。

其数学表达式为

（4-5a）

其离散化计算公式为（4-5b）

均方值反映了信号相对于零值的波动情况，表示信号的平均能量，其数学表达式为：

（4-6a）

对公式4-6a进行离散化为：

（4-6b）

3.方差和标准差

方差用来描述信号相对于其均值的波动情况，反映信号的动态分量，其数学表达式为:

（4-7a）

将其离散化为：

（4-7b）

方差的开方称为标准差，用表示，

（4-8a）

即其离散化的计算公式为

（4-8b）

由于平稳信号的方差比较小，对于机组而言，当机组运行正常时，采集的信号多为平稳信号。

因此，可以利用这一特性粗略地进行诊断。

4.偏态指标和峭度指标

偏态指标和峭度指标用来描述信号偏差正态分布的程度，偏态指标对信号分布的影响如图4-1a，峭度指标影响如图4-1b。

偏态指标　　（4-9a）

对其离散化为：

　　（4-9b）

（a）（b）

图4-1偏态指标和峭度指标对P（x）的影响

（a）偏态指标；（b）峭度指标

峭度指标：

　　（4-10a）

对其离散化为：

　　（4-10b）

从图4-1可以看出，当,的绝对值越大，信号偏离正态分布的程度越大。

若信号为反映机组状态的参量，则可利用偏态指标和峭度指标来近似描述机组偏离正常的程度。

5.其它无量纲指标

除上述统计特征参量外，在水电机组故障诊断中还采用了其它一些无量纲的指标。

这些无量纲指标都具有以下基本特性：

对机组运行状态足够敏感，当机组运行状态的变化引起所测参数发生变化时，这些无量纲指标已有更明显的变化。

无量纲指标有波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标，它们都是由信号的幅值参数演化而来的。

a）波形指标K　

（4-11）

b）峰值指标C

　　（4-12）

c）脉冲指标I

　　（4-13）

d）裕度指标L

　（4-14）

式中--方根幅值，其值为

绝对平均幅值其值为

峰值，其值为

4.1.2相关分析

相关分析是信号时域分析的主要方法，用于分析两个信号之间的关系以及单信号在一定时移前后之间的关系，因此，相关分析又称为时延域分析。

其是提取信号中周期成分的常用手段。

相关分析包括自相关分析和互相关分析。

1.相关系数

当两个变量之间存在某种关系，当某一个变量取值一定，而另一变量可以取许多不同值，但是取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量之间存在相关关系。

对于变量x,y之间的相关程度常用相关系数：

（4-15）式中E——数学期望

——随机变量x的均值，

2.信号自相关分析

自相关函数描述的是同一信号中不同时刻的相互依赖关系。

假如信号x（t）是某各态历经随机过程的一个样本纪录，是时移后的样本。

（4-16）

自相关函数的定义式为：

（4-17）

则

（4-18）

对自相关函数进行离散化为

（4-19）

式中--采样点数（样本长度）；

--时延数；

--时序号。

自相关函数具有如下性质：

a）由式4-18得

（4-20）

因为，所以

（4-21）

b）为实偶函数，即因此作图时只需画出为正的一半即可。

c）自相关函数在时值最大，等于信号的均方值，即。

d）自相关函数不改变信号的周期性。

对于非周期函数的随机信号而言，频带越宽衰减愈快，而周期信号的自相关函数，当时也不为零。

因此，自相关函数的这一性质常用于提取随机信号中的周期成分。

3.互相关分析

信号x（t）与y（t）之间的互相关系数为：

（4-22）

互相关函数描述的是两个不同信号不同时刻的相互依赖关系。

互相关函数的定义式为：

（4-23）

其离散化计算公式为：

（4-24）

互相关函数的性质如下：

a）由于，

所以（4-25）

b）互相关函数是实值函数，可正可负。

当时，称x（t）与y（t）不相关；而当时，表示x（t）与y（t）完全相关。

C）互相关函数是反对称函数，即

互相关函数的这些性质使其在机组故障诊断的信号处理中具有一定的应用价值。

它在噪声背景下提取有用信息十分有效，而且这种方法被称为相关滤波。

4.2频域分析

用于机组故障诊断的原始信号一般是时间历程函数，因此如果对这些信号进行其它分析，就需要从时域到频域的转换工具。

一般常用的数学工具是付里叶变换及其快速算法、从实变函数域到复变函属域的拉普拉斯变换、从连续域到离散域的Z变换以及希尔伯特变换。

4.2.1数学变换工具

4.2.1.1付里叶（Fourier）变换

付里叶变换，即从时域到频域的变换或其逆变换，是频谱分析的工具。

1.付里叶级数与积分

若满足，则称为周期函数，而最小正数T称为周期。

根据付里叶级数理论，对于任何一个周期为T的周期函数，如果在[]上满足狄利赫利条件，即函数在[]上满足：

1）连续或只有有限个第一类间断点[]；2）只有有限个极值点。

则可展开为如下的付里叶级数：

（4-26）

式中

以上展开式称为周期函数的付里叶级数，其中为付里叶系数。

在信号处理中，这种展开又叫做频谱分析，其中常数表示信号的静态部分，成为直流分量，而、、…、依次叫做一次谐波、二次谐波、…、次谐波。

根据欧拉公式

（4-27）

可将式4-26改写成:

（4-28）

若令

把和统一来表示，即

（n=0,±1,±2,…）（4-29）

得到

（4-30）

式4-30就是付里叶级数的复指数形式。

在式4-30中，的模直接反映了n次谐波幅值大小，而的幅角则反映n次谐波的相位。

付里叶级数是对周期函数信号进行频率分析的有效工具，它以角频率为横坐标，分别以幅值和相角为纵坐标作图，形成幅频图和相频图，从而可以对各次谐波分量加以研究。

由于付里叶级数展开式所形成的是离散频谱，当宽度保持不变而周期增加时，因，故必然缩小，离散谱线加密，当时，离散的频谱就变成了连续频谱，该周期函数也演变为非周期函数。

任何一个非周期函数都可以看作是由周期为（时）的函数。

因此，可以用周期函数的频谱分析方法来分析非周期函数。

令，式4-30就可看作为的展开式，即

（4-31）

令

当时，，积分式的积分上下限变成和变成。

离散的频率分布沿整个轴上密布，变成连续的分布；和式又是无限累加，可以把这一和式看成积分

（4-32）

这就是非周期函数的展开式，称为付里叶积分公式。

付里叶积分的存在条件由付氏定理确定，即函数分段连续，且在区间上绝对可积。

2.付里叶变换

在式中，是定义在上绝对可积的函数，无穷积分

（4-33）

叫做的付里叶变换，常记作，其中称为的象函数，是实变量的复函数；称为的原函数，是实变函数。

由于工程上习惯用频率为自变量，上述付里叶变换公式可以写成另一种常用形式，即：

（4-34）

由于付里叶变换是一对一的变换，所以存在逆变换，设是的实变量的复变函数，则无穷积分

（4-35）

称为付里叶逆变换，常记作。

上式也可写作

（4-36）

在频率分析中，称为的谱函数谱特性或谱密度函数。

付里叶变换的基本性质：

（1）线性性质

若分别是，且都是常数，则有

（4-37）

同理有

（4-38）

该性质表明付理叶变换适用于线性系统的分析；时域上的叠加对应于频域上的叠加。

（2）相似性质

若，且为实数则有

比例尺度变化：

（4-39a）

频率尺度变化：

（4-39b）

该性质表明：

快录慢放可以提高频率的分辨力（对时间尺度变化而言）。

　（3）位移性质

若将时间函数沿时间轴平移，则需乘以；反之，若时间函数乘以，则将平移。

信号处理中的细化技术多采用了上述复调制性质。

（4）对称性质

如果是偶函数，则也是偶函数；如果是奇函数，则也是奇函数。

（5）帕斯维尔定理

（4-40）

（6）乘积与卷积

两个函数之积的付里叶变换等于这两个函数付里叶变换的卷积；反之，两个函数卷积的付里叶变换等于两个函数的付里叶变换的乘积。

即若

则有（4-41）

（4-42）

卷积运算是滤波计算及系统的输入输出分析等的数学工具，其数学表达式为，

（4-43）

（7）微分性质和积分性质

微分性质（4-44）

推论（4-45）

积分性质（4-46）

由于机组振动传感器采集的信号含有位移、速度以及加速度，所以加速度、速度和位移函数之间的付里叶变换即利用了上述性质

3.离散付里叶变换（DFT）

连续付里叶变化的离散化实现过程就是所谓的付里叶离散变换，简称DFT（DiscreteFourierTransform）。

连续时间信号在上经过变换后，得到长度为的时间序列，其中为采样频率，满足采样定理，即分析信号的最高频率，则付里叶变换式为：

（4-47）

在实际运算中，由于只能对有限项计算，因此，必须对连续无限项的频率抽取离散值，以便与时域采样相对应，取，结果把信号以为周期加周期延拓。

对该周期离散信号进行付里叶变换

（4-48）

用表示，表示，并省略，则有

（4-49）

（4-50）

式中n——时序号

k——频序号

上式表明：

是以为周期的周期函数，因此只须计算个值就行了。

离散付里叶变换是一个可逆过程，因此，可以借助其逆变换重复原时间序列。

离散付里叶变换简记为“IDFT（InverseDiscre