概率论与数理统计(浙大版)第三章课件优质PPT.ppt
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设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
几何意义,(X,Y)平面上随机点的坐标,即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。
分布函数的性质,2.二维离散型随机变量的联合分布,中心问题:
(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少?
定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值是有限对或无限可列对,则称(X,Y)是二维离散型随机变量。
则,
(1)公式法,二维(X,Y)的联合分布律:
(2)表格法,(X,Y)的概率分布表:
描述(X,Y)的取值规律,例1:
将一枚硬币连掷三次,令X=“正面出现的次数”,Y=“正反面次数之差的绝对值”,试求(X,Y)的联合分布律。
(0,3)(1,1)(2,1)(3,3),P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8,解:
(X,Y)所有可能的取值为:
例2:
设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。
分析(X,Y)所有可能的取值为:
(1,1);
(2,1)、(2,2);
(3,1)、(3,2)、(3,3);
(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4).,解:
设X可能的取值为,Y可能的取值为,则:
(X,Y)的联合分布律为:
X,Y,二维连续型随机变量,说明,
(2)的性质,分布函数是连续函数.(因为是积分上限函数),反映(X,Y)落在处附近的概率大小,概率微分,描述(X,Y)的取值规律,例3:
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度:
例4:
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1)求常数k;
(2)求概率解:
2边缘分布,二维随机变量(X,Y)作为整体,有分布函数其中X和Y都是随机变量,它们的分布函数记为:
称为边缘分布函数。
事实上,,对于离散型随机变量(X,Y),分布律为,X,Y的边缘分布律为:
注意:
我们常在表格上直接求边缘分布律,1,例:
求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.,1,X与Y的边缘分布律如下:
实际应用例子,X,Y,对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为,事实上,,同理:
X,Y的边缘概率密度为:
例2:
(X,Y)的联合分布律为求:
(1)a,b的值;
(2)X,Y的边缘分布律;
(3),
(2),解:
(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.4,例3:
设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
现设(X,Y)在有界区域上均匀分布,其概率密度为求边缘概率密度解:
二维正态分布的图形,作业题(同济大学),P64:
3题、5题、6题和7题,1.当(X,Y)为离散型,三.二维随机变量的条件分布,定义在(X,Y)中,当一个随机变量取固定值的条件下,另一个随机变量的分布,此分布为条件分布,在条件下,X的条件分布,固定值,自变量,同理,总和,分量,例8在例2中,求:
(1)在X=3的条件下Y的条件分布律;
(2)求在Y=1的条件下X的条件分布律。
因为:
所以,,类似可求:
2.当(X,Y)为连续型,总和,分量,例:
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:
解,独立性,独立性,复习:
两个事件A与B独立性的定义,P(AB)=P(A)P(B),四、随机变量的独立性,1、定义:
设X与Y是两个随机变量,若对任意的,
(1)由定义可知:
若X与Y独立,则,
(2)离散型随机变量,X与Y相互独立的充要条件为:
(3)连续型随机变量,X与Y相互独立的充要条件为:
2、随机变量独立性的重要结论,(4)联合分布和边缘分布的关系,联合分布,边缘分布,条件:
独立性,例:
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:
一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布如:
相互独立,作业题(同济大学),P65:
12题、14题,1.(X,Y)离散,使对应的(X,Y)的那些可能值,其概率之和,5两个随机变量的函数的分布,例1:
设二维随机变量(X,Y)的分布律为:
求Z=X+Y的分布律.,解:
Z的所有取值为:
1,2,3,4,5,6.,2.(X,Y)连续型,方法:
分布函数法,解:
由x,y,的取值及Z与X、Y的函数关系可知,Z的取值范围(Z的密度函数不为0的范围)是0z1,首先求Z的分布函数;
当0z1时,如图:
则Z的密度函数为:
0z1,下面我们就几个具体的函数来讨论,Z=X+Y的分布,由概率密度的定义可得Z的概率密度为:
固定,特别地,当X和Y相互独立时,上述两式变为(称为卷积公式):
例1:
设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1),即有,求Z=X+Y的概率密度。
解:
由卷积公式,结论:
分布的可加性,例2:
设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为:
求Z=X+Y的概率密度。
由卷积公式,特别地,当X和Y相互独立时,有,2.Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,例3:
设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为:
求Z=X-Y的概率密度。
由卷积公式,3.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。
由于,现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。
(1)M=max(X,Y)的分布函数为:
(2)N=min(X,Y)的分布函数为:
例1:
设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接方式分别为:
(1)串联;
(2)并联;
(3)备用(当L1损坏时,L2开始工作),如图所示。
(1),
(2),(3),L1,L2的寿命分别用X,Y表示,已知它们的概率密度分别为:
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.,解:
(1)串联的情况:
Z=min(X,Y),X,Y的分布函数分别为:
Z=min(X,Y)的分布函数为:
Z的概率密度为:
(2)并联的情况:
Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数为:
(3)备用的情况:
Z=X+Y,Z的概率密度为:
作业题(同济大学),P64:
1题、3题、9题和12题,复习联合分布函数,联合分布律,联合概率密度,复习-边缘分布,复习-条件分布律,条件密度函数,
(1)由定义可知:
随机变量独立性的重要结论,1.(X,Y)离散,使对应的(X,Y)的那些可能值,其概率之和,5两个随机变量的函数的分布,2.(X,Y)连续型,方法:
分布函数法,特别地,当X和Y相互独立时,上述两式变为(称为卷积公式):
特别地,当X和Y相互独立时,有,
(2).Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,(3)X,Y相互独立时,M=max(X,Y)的分布函数为:
(4)X,Y相互独立时,N=min(X,Y)的分布函数为: