概率论与数理统计(浙大版)第三章课件优质PPT.ppt

1、设（X,Y）是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量（X,Y）的分布函数。,几何意义,（X,Y）平面上随机点的 坐标,即为随机点（X,Y）落在以点（x,y）为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。,分布函数 的性质,2.二维离散型随机变量的联合分布,中心问题：（X,Y）取这些可能值的概率分别为多少？,定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。,则,（1）公式法,二维（X，Y）的联合分布律:,（2）表格法,（X,Y）的概率分布表：描述（X,Y）的取值规律,例1：将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，

2、Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求（X,Y）的联合分布律。,（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）,P（X=0,Y=3）=P（反反反）=1/8,解:（X,Y）所有可能的取值为：,例2:设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求（X,Y）的分布律。,分析（X,Y）所有可能的取值为：（1,1）;（2,1）、（2,2）;（3,1）、（3,2）、（3,3）;（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）.,解：设X可能的取值为,Y可能的取值为,则：,（X,Y）的联合分布律为:,X,Y,二维连续型随机变量,说明,（2）的性质,分布函数 是连续函数.（因为

3、 是积分上限函数）,反映（X,Y）落在 处附近的概率大小,概率微分,描述（X,Y）的取值规律,例3：设二维随机变量（X,Y）具有概率密度：,例4：设二维随机变量（X,Y）具有概率密度（1）求常数k；（2）求概率 解：,2 边缘分布,二维随机变量（X,Y）作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：称为边缘分布函数。,事实上，,对于离散型随机变量（X,Y），分布律为,X,Y的边缘分布律为：,注意：,我们常在表格上直接求边缘分布律,1,例:求例1中二维随机变量（X,Y）关于X与Y的边缘分布律.,1,X与Y的边缘分布律如下:,实际应用例子,X,Y,对于连续型随机变量（X,Y）

4、，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,例2：（X,Y）的联合分布律为 求：（1）a,b的值；（2）X,Y的边缘分布律；（3）,（2）,解：（1）由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布。现设（X,Y）在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：,二维正态分布的图形,作业题（同济大学）,P64：3 题、5题、6题和7题,1.当（X，Y）为离散型,三.二维随机变量的条件分布,定义 在（X,Y）中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的

5、分布，此分布为条件分布,在 条件下，X的条件分布,固定值,自变量,同理,总和,分量,例8 在例2中，求：（1）在X=3的条件下Y的条件分布律；（2）求在Y=1的条件下X的条件分布律。,因为：,所以，,类似可求：,2.当（X，Y）为连续型,总和,分量,例:设二维随机变量（X,Y）的 概率密度为：,解,独立性,独立性,复习:两个事件A与B独立性的定义,P（AB）=P（A）P（B）,四、随机变量的独立性,1、定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的,（1）由定义可知：若X与Y独立,则,（2）离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,（3）连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,2、随机变量

6、独立性的重要结论,（4）联合分布和边缘分布的关系,联合分布,边缘分布,条件：独立性,例:设二维随机变量（X,Y）的概率密度为:,一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布 如：,相互独立,作业题（同济大学）,P65：12题、14题,1.（X,Y）离散,使 对应的（X,Y）的那些可能值,其概率之和,5 两个随机变量的函数的分布,例1:设二维随机变量（X,Y）的分布律为:,求Z=X+Y的分布律.,解:Z的所有取值为:,1,2,3,4,5,6.,2.（X,Y）连续型,方法:分布函数法,解：由 x,y,的取值及Z与X、Y的函数关系可知，Z的取值范围（Z的密度函数不为0的范围）是 0 z 1,首先求Z的

7、分布函数；,当 0z1时，如图：,则Z的密度函数为：,0z1,下面我们就几个具体的函数来讨论,Z=X+Y的分布,由概率密度的定义可得Z的概率密度为：,固定,特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：,例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N（0,1）,即有,求Z=X+Y的概率密度。,解：由卷积公式,结论:,分布的可加性,例2:设随机变量X与Y独立同分布，X的概率密度为：,求Z=X+Y的概率密度。由卷积公式,特别地,当X和Y相互独立时,有,2.Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,例3:设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为：,求Z=X-Y的概率密度。由卷积公

8、式,3.M=max（X,Y）及N=min（X,Y）的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX（x）和FY（y）。,由于,现在来求M=max（X,Y）及N=min（X,Y）的分布函数。,（1）M=max（X,Y）的分布函数为：,（2）N=min（X,Y）的分布函数为：,例1：设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为:（1）串联;（2）并联;（3）备用（当L1损坏时，L2开始工作），如图所示。,（1）,（2）,（3）,L1，L2的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密度分别为:,试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.,解:（1）串联的情况

9、:Z=min（X,Y）,X,Y的分布函数分别为：,Z=min（X,Y）的分布函数为：,Z的概率密度为:,（2）并联的情况：Z=max（X,Y）,Z=max（X,Y）的分布函数为：,（3）备用的情况：Z=X+Y,Z的概率密度为:,作业题（同济大学）,P64：1题、3 题、9题和12题,复习联合分布函数，联合分布律，联合概率密度,复习-边缘分布,复习-条件分布律，条件密度函数,（1）由定义可知：,随机变量独立性的重要结论,1.（X,Y）离散,使 对应的（X,Y）的那些可能值,其概率之和,5 两个随机变量的函数的分布,2.（X,Y）连续型,方法:分布函数法,特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：,特别地,当X和Y相互独立时,有,（2）.Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,（3）X,Y相互独立时，M=max（X,Y）的分布函数为：,（4）X,Y相互独立时，N=min（X,Y）的分布函数为：,