专题05 数列-直击2020新高考数学多选题Word文档下载推荐.doc

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前n项和公式

Sn＝＝na1＋d

q≠1时，Sn＝＝，q＝1时，Sn＝na1

性质

am，an的

关系

am－an＝（m－n）d

＝qm－n

m，n，s，t∈N*，

m＋n＝s＋t

am＋an＝as＋at

aman＝asat

{kn}是等差数列，且kn∈N*

{}是等差数列

{}是等比数列

n＝2k－1，k∈N*

S2k－1＝（2k－1）·

ak

a1a2·

…·

a2k－1＝a

k1，k2，k3（k1，k2，k3∈N*）成等差数列

，，成等差数列

，，成等比数列

判断方法

利用定义

an＋1－an是同一常数

是同一常数

利用中项

an＋an＋2＝2an＋1

anan＋2＝a

利用通项公式

an＝pn＋q，其中p、q为常数

an＝abn（a≠0，b≠0）

利用前n项和公式

Sn＝an2＋bn（a，b为常数）

Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np（p为非零常数）

3.回顾一下本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想

（1）在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；

（2）在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加和错位相减.

（3）等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.

（4）在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.

（5）等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.

二、跟踪训练

1.下列正确的命题有（）

A．已知数列{an}，an＝（n∈N*），那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．

B．数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.

C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.

D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．

【答案】A，B，C，D

【解析】对于A，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第一项．A正确．

对于B，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，B正确；

对于C，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29.C正确；

对于D，由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．

2.下列关于等差数列的命题中正确的有

A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；

B.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；

C.若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；

D.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．

【答案】B

【解析】对于A取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错．

对于Ba＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确；

对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴（ka＋2）＋（kc＋2）＝k（a＋c）＋4＝2（kb＋2），C正确；

对于D，a＝b＝c≠0⇒＝＝，的D正确．综上可知选B，C，D.

3.下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，其中是真命题的有（）

A.数列{an}是递增数列；

B.数列{nan}是递增数列；

C.数列是递增数列；

D。

数列{an＋3nd}是递增数列.

【答案】A，D.

【解析】an＝a1＋（n－1）d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，命题A正确.

nan＝na1＋n（n－1）d，∴nan－（n－1）an－1＝a1＋2（n－1）d与0的大小关系和a1的取值情况有关.

故数列{nan}不一定递增，命题B不正确.

对于p3：

＝＋d，∴－＝，

当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{}递增，

但d＞a1不一定成立，则C不正确.

对于p4：

设bn＝an＋3nd，

则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.

∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确.

综上，正确的命题为A，D.

4.首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列4个命题中正确的有（　　）

A.若S10＝0，则S2+S8＝0；

B.若S4＝S12，则使Sn＞0的最大的n为15；

C.若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大；

D.若S7＜S8，则S8＜S9．

【答案】B，C

【解析】根据题意，依次分析4个式子：

对于A，若S10＝0，则S10＝＝0，则a1+a10＝0，即2a1+9d＝0，则S2+S10＝（2a1+d）+（8a1+28d）

＝10a1+29d≠0，A不正确；

对于B，若S4＝S12，则S12﹣S4＝0，即a5+a6+……+a11+a12＝4（a8+a9）＝0，由于a1＞0，则a8＞0，a9＜0，则有S15

＝＞0，S16＝＝0，故使Sn＞0的最大的n为15，B正确；

对于C，若S15＞0，S16＜0，则S15＝＝15a8＞0，S16＝＝＜0，则有a8

＞0，a9＜0，则{Sn}中S8最大；

C正确；

对于D，若S7＜S8，即a8＝S8﹣S7＞0，而S9﹣S8＝a9，不能确定其符号，D错误；

故选B，C．

5.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（）

A．a7＝0B．S13＝0C．S7最小D．S5＝S8．

【答案】A，B，D

【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1+3a2＝S6，∴4a1+3d＝6a1+d，化为：

a1+6d＝0，即a7＝0．

故a7＝0，A正确；

S13＝＝13a7＝0，B正确；

S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正确；

S5﹣S8＝d﹣＝﹣3a1﹣18d＝﹣3a7＝0，D正确．故选A，B，D.

6.设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14＞0，S15＜0，正确的选项有（　　）

A．a1＞0，d＜0 B．a7+a8＞0

C．S6与S7均为Sn的最大值 D．a8＜0

【解析】∵等差数列{an}的前n项和是Sn，且S14＞0，S15＜0，

∴S14＝＝7（a1+a14）＝7（a7+a8）＞0，即a7+a8＞0，

S15＝＝15a8＜0，即a8＜0，∴a7＞0．

∴等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1＞0，d＜0．

∴S7为Sn的最大值．故选A，B，D正确．

7.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）

A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0．

【答案】A，C

【解析】∵a1+5a3＝S8，∴a1+5a1+10d＝8a1+28d，∴a1＝﹣9d，

∴an＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，∴a10＝0，故A一定正确，

∴Sn＝na1+＝﹣9nd+＝（n2﹣19n），∴S7＝S12，故C一定正确，

S10最小，故B不正确；

S20＝0，则D不正确，故选A，C.

8.已知数列{an}是等比数列，则下列选项正确的有（　　）

A．数列{an2}是等比数列

B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±

8

C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列

D．若数列{an}的前n和Sn＝3n﹣1+r，则r＝﹣1

【解析】由数列{an}是等比数列，知：

在A中，∵，∴＝＝q2是常数，∴数列{an2}是等比数列，故A正确；

在B中，若a3＝2，a7＝32，则a5＝＝8，故B错误；

在C中，若a1＜a2＜a3，则q＞1，数列{an}是递增数列，故C正确；

在D中，若数列{an}的前n和Sn＝3n﹣1+r，则a1＝S1＝1+r，

a2＝S2﹣S1＝（3+r）﹣（1+r）＝2，a3＝S3﹣S2＝（9+r）﹣（3+r）＝6，

∵a1，a2，a3成等比数列，∴，∴4＝6（1+r），解得r＝﹣，故D错误．

9.等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1．a99•a100﹣1＞0，，下列选项中，正确的结论有（　　）

A．0＜q＜1 B．a99•a101﹣1＜0C．T100的值是Tn中最大的 D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198

【解析】对于A，∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．

∵a1＞1，∴q＞0．又∵，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，故A正确；

对于B，∵，∴0＜a99•a101＜1，即a99•a101﹣1＜0，故B正确；

对于C，由于T100＝T99•a100，而0＜a100＜1，故有T100＜T99，故C错误；

对于D，T198＝a1•a2…a198＝（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）＝（a99•a100）×

99＞1，

T199＝a1•a2…a199＝（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故D正确．

∴不正确的是C．故选A，B，D．

10.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）

A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列；

B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列；

C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列；

D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列；

【解析】若数列{an}的前n项和为常数），

若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，

若c≠0，则数列{an}从第二项起为等差数列，故A不正确；

若数列{an}的前n项和，

可得a1＝4﹣2＝2，a2＝S2﹣S1＝8﹣2﹣2＝4，a3＝S3﹣S2＝16﹣2﹣6＝8，

则a1，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B不正确；

数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，

则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，即为a1+a2+…+an，an+1+…+a2n，a2n+1+…+a3n，…，

即为S2n﹣Sn﹣Sn＝S3n﹣S2n﹣S2n﹣Sn＝n2d为常数，仍为等差数列，故C正确；

数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，

比如公比q＝﹣1，n为偶数，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，均为0，不为等比数列．故D不正确．

故选A，B，D．

11.设{an}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选

项中成立的（）

A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为Kn的最大值

【答案】A，B，