蹦床安全性问题数学建模Word下载.doc

蹦床安全性问题数学建模Word下载.doc

《蹦床安全性问题数学建模Word下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《蹦床安全性问题数学建模Word下载.doc（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

将模型适当简化为弹簧——振子系统，将弹性网面视为一质点。

考虑人体的重力，下落的高度，弹簧的刚度及承受力，蹦床与地面间的距离等，通过受力分析，建立该系统竖直方向的运动模型，并得到相应的运动方程。

并分析系统在何种条件下可以让人员安全运动。

完成对蹦床安全性能的研究。

二、基本假设

假设1质点与弹簧，弹簧与支架在任何强度下连接点都不脱离。

假设2运动过程中空气密度不变，人受空气阻力的截面积不变。

假设3系统不受风、温度、支架强度等外界干扰。

假设4所有弹簧条件完全一致且都为圆柱螺旋弹簧，

假设5设地面为参考面，

假设6人每次接触和离开弹性面时，弹性面都处于静止状态，

假设7不计弹簧的质量，不计人本身的高度，

假设8人每次接触弹性面时给系统补充的能量都一样，

三、符号定义

人体的质量

蹦床距地面间的距离

人体的速度

弹簧的自然长度（蹦床的半径）

弹簧的刚度

人体的加速度

人距参考面的最大高度

弹性网面的质量

重力加速度

弹簧数目

弹簧的阻尼系数

空气的摩擦系数

人和弹性面的平衡位置距参考面的距离

弹簧阻尼力做的功

人每次接触弹性面时给系统补充的能量

四、模型的建立与求解与分析

蹦床质点

人

弹簧

初始状态

平衡位置处：

每次人下降接触到弹性网面，人便会给系统补充能量,假设全部转化为弹簧储存的能量，这样人的速度就不会突变。

模型一：

第一次下降过程，（人走上弹性网面，并给系统能量）：

此时系统的运动弹簧振子系统：

下面求振幅和相位：

下降到最低点位置处，能量守恒：

求得为：

将和代入可求出；

并且

第一次上升过程，与下降时对称，在水平面处分离，同为：

分离时人的速度满足（动能定理）：

求得：

由动能定理，在空气中上升到最高点：

第二次下降的过程中：

运动方程为：

与弹性面接触下降到最低点：

不变

运动方程为：

第二次上升到水平面：

人体位移h

时间t

理想状态下人体位移h与时间t的函数图象

依次往复运动知：

最低点距离为：

令为常量

……

由此推知，每次弹性面拉长距离为：

人体最低点的位置：

人脱离蹦床时

（）

人蹦起高度为：

接触次数/n

mm

由图知在此理想模型中人跳起高度越来越高，蹦床越来越长，不符合实际情况，故引入模型二。

模型二：

在实际情况中，弹簧阻尼也不可忽略（空气阻力远小于弹簧阻尼力，因此忽略）。

第一次下降到最低点的过程：

弹簧阻尼力为：

阻尼力做的功大小为：

又有：

代入式中可得：

利用梯形图法转化为：

最低点位置满足动能定理：

第一次上升至水平面的过程中，阻尼力做的功的大小为：

在此过程中满足（动能定理）：

求出第一次离开蹦床速度

人和弹性面于水平面分离后在空中上升，上升过程中只受重力作用：

第二次下降至弹性面的过程中，下降时的运动方程为：

与弹性网面接触时：

即：

从接触弹性网面到下降至最低点：

阻尼力做的功为：

则有

第二次上升至水平面的过程中，阻尼力做的功的大小为：

利用上面系统运动分析..令

可求出：

每次蹦床下落距离

每次离开蹦床时动能为：

①

②

分析①②可知开始时，随着的增大，人离开水平面动能增大。

但相邻两次动能变化逐渐减小，当动能变化为0时，恒定。

人跳起高度将不再变化。

恒定一个高度。

以此推之：

当人给系统能量与阻力（阻尼）做功相等时系统平衡，恒定：

周期为：

当系统平衡时，有：

则可求出：

则有人体下降的最大距离为：

所以蹦床距地面的距离为：

到达水平面人体的速度为：

在空气中上升的最大距离为：

因此，人体下落距离随着动能增大而增大，但随着逐渐减小，知逐渐减小。

实际状态下人体位移h与时间t的函数图象

人体最低点X

最大高度H

显然，模型二更符合实际情况，不仅结合了理想状态的人体运动，也结合了实际情况中不可避免有阻尼的情况，并且，为了人身安全蹦床安装高度必须满足

五、模型评价

1、优点：

（1）、对蹦床系统进行了合理的简化建立了恰当的模型。

（2）、模型遵循由易到难的原则，建立两个模型，逐步加上条件。

2、缺点：

（1）、忽略了空气阻力对人运动的影响。

（2）、忽略了人本身运动对系统的作用。

六、参考文献

1、《大学物理》中国铁道出版社第一章

11