高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结(最强大)Word格式文档下载.doc

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（2）求证:

（3）求证:

（4）求证：

（1）因为,所以

（2）

（3）先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案

（4）首先,所以容易经过裂项得到

再证而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以

例3.求证:

一方面:

因为,所以

另一方面:

当时,,当时,,

当时,,

所以综上有

例4.（2008年全国一卷）设函数.数列满足..设，整数.证明:

由数学归纳法可以证明是递增数列,故若存在正整数,使,则,

若,则由知,,

因为,于是

例5.已知,求证:

.

解析:

首先可以证明:

所以要证

只要证:

故只要证,

即等价于,

即等价于而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知,,求证:

从而

例7.已知,,求证:

证明:

因为,所以

二、函数放缩

例8.求证：

解析:

先构造函数有,从而

cause

例9.求证:

（1）

解析:

构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案

函数构造形式:

例10.求证:

提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数,

首先:

从而,

取有,,

所以有,,…,,,相加后可以得到:

另一方面,从而有

所以有,所以综上有

例11.求证:

和.解析:

构造函数后即可证明

例12.求证:

叠加之后就可以得到答案

（加强命题）

例13.证明:

解析:

构造函数,求导,可以得到:

令有,令有,

所以,所以,令有,

所以,所以

例14.已知证明.

解析:

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用和裂项可以得到答案）

放缩思路：

。

于是，

即

注：

题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；

当然，本题还可用结论来放缩：

，

例16.（2008年福州市质检）已知函数若

设函数

∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有

而

即

令则

例15.（2008年厦门市质检）已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.

（I）求证：

函数上是增函数；

（II）当；

（III）已知不等式时恒成立，

求证：

（I）,所以函数上是增函数

（II）因为上是增函数,所以

两式相加后可以得到

（3）

……

相加后可以得到:

令,有

所以

（方法二）

所以

又,所以

三、分式放缩

姐妹不等式:

和

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:

看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

例19.姐妹不等式:

也可以表示成为

利用假分数的一个性质可得

例20.证明:

运用两次次分式放缩:

（加1）

（加2）

相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩

例21.求证:

解析:

例22.（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.

（1）证明>

>

4，;

（2）证明有，使得对都有<

（1）依题设有：

，由得：

又直线在轴上的截距为满足

显然，对于，有

（2）证明：

设，则

设，则当时，

所以，取，对都有：

故有<

成立。

例23.（2007年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？

并证明你的结论。

首先求出,∵

∴,∵,,…

故当时,,

因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，

则当时,必有.

故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.

例24.（2008年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为,

设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:

.

容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证

五、迭代放缩

例25.已知,求证:

当时,

通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论

例26.设,求证:

对任意的正整数k,若k≥n恒有:

|Sn+k－Sn|<

又所以

六、借助数列递推关系

例27.求证:

设则

从而

相加后就可以得到

例28.求证:

例29.若,求证:

所以就有

七、分类讨论

例30.已知数列的前项和满足证明：

对任意的整数，有

解析:

容易得到,

由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当且为奇数时

（减项放缩），于是

①当且为偶数时

②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。

八、线性规划型放缩

例31.设函数.若对一切，，求的最大值。

由知即

由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为

因此对一切，的充要条件是，即，满足约束条件，

　　　由线性规划得，的最大值为5．

九、均值不等式放缩

例32.设求证

此数列的通项为

，，

①应注意把握放缩的“度”：

上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

其中，等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：

例34.已知为正数，且，试证：

对每一个，.

由得，又，故，而，

令，则=，因为，倒序相加得=，

而，

则=，所以，即对每一个，.

例35.求证

不等式左=，

原结论成立.

例36.已知,求证:

经过倒序相乘,就可以得到

例37.已知,求证:

其中:

因为

所以

从而,所以.

例38.若,求证:

因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.

所以所以

例39.已知,求证:

解析:

例40.已知函数f（x）=x2－（－1）k·

2lnx（k∈N*）.k是奇数,n∈N*时,

求证:

[f’（x）]n－2n－1·

f’（xn）≥2n（2n－2）.

由已知得，

（1）当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.

（2）,左式=

令

由倒序相加法得：

，

所以

所以综上，当k是奇数，时，命题成立

例41.（2007年东北三校）已知函数

（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；

（2）令求证：

★例42.（2008年江西高考试题）已知函数,.对任意正数,证明：

．

对任意给定的,,由,

若令，则①,而②

（一）、先证；

因为，，，

又由，得．

（二）、再证；

由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

（ⅰ）、当，则，所以，因为，

，此时．

（ⅱ）、当③，由①得,，，

因为所以④

同理得⑤，于是⑥

今证明⑦,因为，

只要证，即，也即，据③，此为显然．

因此⑦得证．故由⑥得．

综上所述，对任何正数，皆有．

例43.求证:

一方面:

（法二）

另一方面:

十、二项放缩

,

例44.已知证明

45.设，求证：

数列单调递增且

引入一个结论：

若则（证略）

整理上式得（）

以代入（）式得

即单调递增。

此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。