专题1 集合与逻辑届高三数学一轮复习导学案教师用书打包下载Word文件下载.docx

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集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

AB

相等

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集

空集是任何集合的子集

∅⊆A

空集是任何非空集合的真子集

∅B且B≠∅

Tips：

判断集合间关系的常用方法

①列举法：

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

②结构法：

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断

③数轴法：

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

【知识应用通关】

1．已知集合A＝{x∈N|x<

2}，B＝{y|y＝lg（x＋1），x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为（　　）

A．3B．7

C．8D．15

【答案】B

【解析】因为A＝{x∈N|x<

2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg（x＋1），x∈A}，所以B＝{0，lg2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg2}．所以集合C的真子集的个数为23－1＝7.

2.已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（－∞，0）D．（－∞，0]

【答案】A

【解析】由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.

3．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B＝（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{0,1,2}

C．{0,2,4}D．{1,2}

【解析】当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；

当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；

当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．

4.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

【答案】C

5．已知集合A＝{x∈N|1<

x<

log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为（　　）

A．（8，＋∞）B．[8，＋∞）

C．（16，＋∞）D．[16，＋∞）

【解析】法一：

∵集合A＝{x∈N|1<

log2k}，集合A中至少有3个元素，∴log2k>

4，解得k>

16.故选C.

法二：

取k＝16，则集合A＝{x∈N|1<

log2k}＝{x∈N|1<

4}＝{2,3}，所以排除A、B、D，故选C.

6.已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

【答案】D

【解析】A＝{x|x>

－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：

B⊆A.

考点

（二）　集合的基本运算　

1．集合的基本运算

符号表示

图形表示

符号语言

集合的并集

A∪B

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

集合的交集

A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

集合的补集

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

2.集合基本运算的常见性质

（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.

（2）A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

1.已知函数f（x）＝的定义域为M，g（x）＝ln（1－x）的定义域为N，则M∪（∁RN）＝（　　）

A．{x|x>

－1}B．{x|x≥1}

C．∅D．{x|－1<

1}

【解析】依题意得M＝{x|－1<

1}，N＝{x|x<

1}，∁RN＝{x|x≥1}，所以M∪（∁RN）＝{x|x>

－1}．

2.若全集U＝R，集合A＝{x|1<

2x<

4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩∁UB＝（　　）

A．{x|1<

2}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|0<

1}D．{x|1≤x<

2}

【解析】由题意知，A＝{x|0<

2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<

1}，所以A∩∁UB＝{x|0<

1}．

3.设集合A＝，B＝{x|x2<

1}，则A∪B＝（　　）

2}B．{x|－1<

C.D．{x|－1<

【解析】因为B＝{x|x2<

1}＝{x|－1<

1}，所以A∪B＝{x|－1<

2}．

4.设集合U＝R，A＝{x|2x（x－2）<

1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<

x≤1}D．{x|x≤1}

【解析】A＝{x|2x（x－2）<

1}＝{x|x（x－2）<

0}＝{x|0<

2}，B＝{x|y＝ln（1－x）}＝{x|1－x>

0}＝{x|x<

1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<

2}．

5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：

A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为（　　）

A．15B．16

C．20D．21

6.对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M）．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝（　　）

A.B.

C.∪[0，＋∞）D.∪（0，＋∞）

【解析】因为A＝，B＝{y|y<

0}，所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝，A⊕B＝（A－B）∪（B－A）＝.

7．已知集合A＝，B＝{x|3－2x＞0}，则（　　）

A．A∩B＝　　　　B．A∩B＝∅

C．A∪B＝D．A∪B＝R

【解析】因为A＝{x|x＜2}，B＝＝，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}

8．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}

C．{2,3,4}D．{1,3,4}

【解析】由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．

9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（　　）

A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}

C．{1,2,3}D．{1,2}

【解析】∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}

10．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝（　　）

A．{4,8}B．{0,2,6}

C．{0,2,6,10}D．{0,2,4,6,8,10}

【解析】∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁AB＝{0,2,6,10}．

第二节命题及充分与必要条件

考点

（一）　命题及其关系　

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

判断命题真假的思路方法

（1）判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．

（2）当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：

①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；

②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．　

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

1.下列命题中为真命题的是（　　）

A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集

2.下列命题中为真命题的是（　　）

A．若＝，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝D．若x<

y，则x2<

y2

【解析】取x＝－1，排除B；

取x＝y＝－1，排除C；

取x＝－2，y＝－1，排除D.

3.已知命题α：

如果x<

3，那么x<

5；

命题β：

如果x≥3，那么x≥5；

命题γ：

如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（　　）

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③B．②

C．②③D．①②③

【解析】命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.

4.已知命题p：

“正数a的平方不等于0”，命题q：

“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．否定

【解析】命题p：

“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

5.有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）．

【答案】①②③

考点

（二）　充分条件与必要条件　

1．充分条件与必要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且qp

p是q的必要不充分条件

pq且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

pq且qp

2.充分条件与必要条件和集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

A⊆B

p是q的必要条件

B⊆A

BA

A＝B