精品函数项级数的收敛判别法探究毕业论文Word文档格式.docx

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科学、软件工程）

2013年5月日

HuanggangNormalUniversity

ThesisGraduates

Topic：

Theconvergencecriterionofseriesexpressedbyfunctionterms

Author：

DaiLe

College：

CollegeofMathematicsandComputerScience

Specialty：

MathematicsandAppliedMathematics

（orComputerScienceandTechnology,orInformationandComputingScience,orSoftwareEngineering）

Class：

200902

Tutor：

XiaDan

MayXth,2013

郑重声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师夏丹的指导下独立研究并完成的。

除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

特此郑重声明！

指导老师（签名）：

论文作者（签名）：

2013年5月X日

摘要

函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用.函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点，又是难点，不易理解和掌握。

而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性，但是一致收敛的判别比较困难，函数项级数在区间上的一致收敛性与部分和函数列的一致收敛性是等价的。

一种自然的思想是将正项级数的判别法推广到函数项级数一致收敛的判别法上去.目前，正项级数的D’Alembert判别法、Cauchy判别法、Raabe判别法和它们的极限形式顺利地推广到了函数项级数的一致收敛的判别上.此外，还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法，这些方法视条件而定：

1在和函数或极限函数可以求出的情况下，可以用定义。

2利用余项的一致收敛性：

在区间上一致收敛的充要条件是在上一致收敛于0，即，在上一致收敛于的充要条件是=0.

3利用Cauchy准则（函数项级数和函数列均可用）.

4利用函数项级数一致收敛的M判别法（Weierstrass判别法）.

5利用函数项级数一致收敛的Dimchler判别法和Abel判别法.

6利用结论：

如果函数列在上收敛于，且每一在上满足Lipschitz条件，即存在，使得，，n=1,2,……,则在上一致收敛于.

7利用结论：

如果可微函数列在上收敛于，且在上一致收敛于.

8利用Dini定理（函数项级数和函数列均可用）

9利用结论：

设幂级数的收敛半径，则

（i）当或收敛时，在（或）上一致收敛；

（ii）当在内一致收敛当且仅当在上一致收敛

本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究.

关键词：

函数项级数、一致收敛

Abstract

Seriesexpressedbyfunctiontermsinthefieldofmathematicsandengineeringscienceitselfhasimportantapplication.Functionseriesandfunctionofuniformconvergenceproblemoftenisthekeypointofmathematicalanalysis,itisdifficult,noteasytounderstandandgrasp.Andfunctionstudiesseriesoneofthebasicproblemisthattheuniformconvergence,buttheuniformconvergencecriterionismoredifficult,intheuniformconvergenceoftheseriesexpressedbyfunctiontermsconsistentwiththepartandfunctionofconvergenceareequivalent.Anaturalthoughtisthecriterion.Atpresent,the

PosistiveSeriesD’Alembertcriterion,Cauchycriterion,Raabediscriminantmethodandthelimitsoftheirformhasbeengeneralizedtofunctionsuccessfullyaseriesofuniformconvergencecriterion.Inaddition,thereareanumberofdiscriminantfunctionisaseriesofuniformconvergenceofthemethod,thesemethodsdependingontheconditions:

1.inorlimitfunctioncanbecalculatedandthefunction,canusethedefinition.

2.morethanusingtheuniformconvergence:

thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintherangeisontheuniformconvergencetozero,i.e,thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintheis=0.

3.usingCauchycriterion（functionseriesandcolumnareavailable）.

4.usingthefunctionoftheMseriesofuniformconvergence（Weierstrass

discriminantmethod）.

5.usingtheseriesofuniformconvergenceofDimchlerdiscriminantmethodandAbeldiscriminantmethod.

6.withtheconclusionthatifafunctionlistedinconvergesto,andeachinsatisfiedtheLipschitzcondition,thatis,make,n=1,2,…,theuniformconvergencein.

7.usingtheconclsion:

iftheconvergenceindifferentiablefunctionon,andontheuniformconvergenceinthe.

8.Dinitheorem（functionseriesandcolumnareavailable）

9.useconclusion:

apowerseriesandcolumnareavailable,andis

（i）whenorconvergence,uniformconvergenceon（or）;

（ii）whenontheuniformconvergenceifandonlyifinuniformconvergence

Thispaperaimedtotheconvergentseriesexpressedbyfunctiontermsdiscriminantmethodcarriesonthecomprehensivesummaryandexploration

Keywords:

functionseries,uniformconvergence

目录

第一章绪论……………………………………………1

1.1引言………………………………………………1

1.2定义:

.......................................................................1

1.2.1函数项级数定义...........................................1

1.2.2函数项级数一致收敛性的定义....................1

1.3函数项级数一致收敛的判定方法………………3

1.3.1定理1（柯西一致收敛准则）………………4

1.3.2定理2（余项判别法）………………………4

1.3.3定理3（魏尔斯特拉斯判别法）……………5

1.3.4定理4（狄利克雷判别法）…………………5

1.3.5定理5（阿贝尔判别法）……………………6

1.3.6定理6…………………………………………7

第二章函数项级数的收敛判别方法应用...............................8

函数项级数的收敛判别法应用

摘要：

函数项级数的收敛判别问题是函数项级数问题中最基本最重要的问题，在研究函数项级数收敛的问题时可借鉴一些数项级数的方法，本文对函数项级数的收敛判别方法及其应用做了全面细致的阐述

函数项级数、收敛判别

1引言

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。

对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等.对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性、可微性以及可积性.函数项级数在一致收敛时，求和和求导、求和和求积分的顺序可以交换顺序.并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题.这个应用非常重要，因此，本文将对函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结.

2定义：

2.1函数项级数定义

2.1.1定义设{u（x）}是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u（x）+u（x）+u（x）

称为定义在E上的函数项级数，简记为或。

称

，n=1,2,

为函数项级数的部分和函数列。

2.2函数项级数一致收敛的定义

若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于，则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.

我们可以看到，函数项级数的一致收敛性归结到其部分和函数列的一致收敛性的研究上。

例1考察级数

的一致收敛性

分析：

由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。

所以我们首先要求