高考数学试题分类汇编数列Word文档格式.docx
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安徽卷（14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是
2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
78910
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．
3.（湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则.
4.（湖北卷15）观察下列等式：
……………………………………
可以推测，当≥2（）时，
.
5.（重庆卷14）设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=.
三．解答题：
1.（全国一22）．（本小题满分12分）
（注意：
在试题卷上作答无效）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：
函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）设，整数．证明：
．
解析：
，
故函数在区间（0,1）上是增函数；
（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：
由．可得
1，若存在某满足，则由⑵知：
2，若对任意都有，则
，即成立.
2.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
解：
（Ⅰ）依题意，，即，
由此得．4分
因此，所求通项公式为
，．①6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
当时，
又．
综上，所求的的取值范围是．12分
3.（四川卷20）．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知
当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
由题意知，且
两式相减得
即①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
因此
得
4.（天津卷20）（本小题满分12分）
在数列中，，，且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：
对任意的，
是与的等差中项．
本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：
由（Ⅰ）
，
……
，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）
设数列满足为实数
对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：
;
（Ⅲ）设，证明：
解
（1）必要性：
，
又，即
充分性：
设，对用数学归纳法证明
当时，.假设
则，且
，由数学归纳法知对所有成立
（2）设，当时，，结论成立
当时，
由
（1）知，所以且
（3）设，当时，，结论成立
当时，由
（2）知
6.（山东卷19）。
（本小题满分12分）
将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2a3
a4a5a6
a7a8a9a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.
（Ⅰ）证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k（k≥3）行所有项和的和.
（Ⅰ）证明：
由已知，
（Ⅱ）解：
设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.
因为
所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，
故a82在表中第13行第三列，
因此
又
所以q=2.
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则（k≥3）.
7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n=4时，求的数值；
②求的所有可能值；
（Ⅱ）求证：
对于一个给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n＝4时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．
若删去，则有即
化简得＝0，因为≠0，所以=4；
若删去，则有，即，故得=1．
综上=1或－4．
②当n＝5时，中同样不可能删去首项或末项．
若删去，则有＝，即．故得=6；
若删去，则＝，即．
化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；
若删去，则有＝，即．故得=2．
当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，，中，
由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0矛盾；
同样若删
去也有＝，这与d≠0矛盾；
若删去，…，中任意一个，则必有
＝，这与d≠0矛盾．
综上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
8.（江西卷19）．（本小题满分12分）
数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.
（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
9.（湖北卷21）.（本小题满分14分）
已知数列和满足：
其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有
?
若存在，求的取值范围；
若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
因为bn+1=（-1）n+1［an+1-3（n-1）+21］=（-1）n+1（an-2n+14）
=（-1）n·
（an-3n+21）=-bn
又b1x-（λ+18）,所以
当λ＝－18，bn=0（n∈N+）,此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=（λ+18）≠0,由上可知bn≠0，∴（n∈N+）.
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·
（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<
Sn<
b对任意正整数n成立，
即a<
-（λ+18）·
［1－（－）n］〈b（n∈N+）
①
当n为正奇数时，1<
f（n）
∴f（n）的最大值为f
（1）=,f（n）的最小值为f
（2）=,
于是，由①式得a<
-（λ+18）,<
当a<
b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>
3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<
b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.
10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）
数列
（Ⅰ）求并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设证明：
当
解:
（Ⅰ）因为所以
一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①
②
①-②得，
所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
（1）当n=6时，成立.
（2）假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由
（1）、
（2）所述，当n≥6时，.即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）
已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
对任意的，，；
（Ⅲ）证明：
解法一：
（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
取，
则．
原不等式成立．
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，
则
当时，；
当时，，
当时，取得最大值．
（Ⅲ）同解法一．
12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.
解：
（Ⅰ）因
由此有，故猜想的通项为
（Ⅱ）令
由题设知x1=1且
②
因②式对n=2成立，有
③
下用反证法证明：
由①得
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