浙江高考数学二轮复习练习专题限时集训9 空间中的平行与垂直关系 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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③若m∥n，m∥β，则n∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为（　　）【导学号：

68334110】

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

A　[对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；

对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；

对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；

对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.]

3．如图912所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：

①BC⊥PC；

②OM∥平面APC；

③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（　　）

图912

A．①②　B．①②③

C．①D．②③

B　[对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.

对于②，∵点M为线段PB的中点，

∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，

∴OM∥平面PAC.

对于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，

故①②③都正确．]

4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：

①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；

②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；

③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.

其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是（　　）

A．①　　　B．②　　　

C．③　　　D．①③

D　[对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C.

对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°

，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°

，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.]

5．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是（　　）

图913

A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形

B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形

C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形

D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形

B　[因为AP⊥平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.当AE⊥PB时，AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，A正确；

当EF∥平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EF∥BC，则EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正确；

当PC⊥平面AEF时，AE⊥PC，又AE⊥BC，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正确；

B中结论无法证明，故选B.]

二、填空题

6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；

②PB⊥AC；

③PC⊥AB；

④AB⊥BC.

其中正确命题的个数是________.【导学号：

68334111】

3　[如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，

∴PA⊥平面PBC.

又∵BC⊂平面PBC，

∴PA⊥BC.

同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.]

7．在三棱锥CABD中（如图914），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB＝4，二面角ABDC的大小为60°

，并给出下面结论：

①AC⊥BD；

②AD⊥CO；

③△AOC为正三角形；

④cos∠ADC＝；

⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π.其中真命题是________（填序号）．

图914

①③⑤　[由题意知BD⊥CO，BD⊥AO，则BD⊥平面AOC，从而BD⊥AC，故①正确；

根据二面角ABDC的大小为60°

，可得∠AOC＝60°

，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与CO不垂直，故②错误；

根据∠AOC＝60°

，AO＝CO可得△AOC为正三角形，故③正确；

在△ADC中，AD＝CD＝4，AC＝CO＝2，由余弦定理得cos∠ADC＝＝，故④错误；

由题意知，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，则外接球的表面积为S＝4π×

（2）2＝32π，故⑤正确．]

8．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．（填序号）

①AC⊥BE；

②B1E∥平面ABCD；

③三棱锥EABC的体积为定值；

④直线B1E⊥直线BC1.

①②③　[因为AC⊥平面BDD1B1，故①，②正确；

记正方体的体积为V，则VEABC＝V为定值，故③正确；

B1E与BC1不垂直，故④错误．]

三、解答题

9．如图915，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

图915

（1）求证：

DC⊥平面PAC.

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC.

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由．

[解]　

（1）证明：

因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.2分

又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，

所以DC⊥平面PAC.4分

（2）证明：

因为AB∥DC，DC⊥AC，

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.

又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.8分

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.9分

（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.12分

理由如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF.

又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.

又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，

所以PA∥平面CEF.15分

10．（2017·

绍兴稽阳联谊学校高三4月联考）如图916，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°

，点E在CD上，AB＝CE，BF＝BD＝，BD⊥BC.现将△ADE沿AE折成如图2△APE位置，使得二面角PAEC的大小为.

图916

（1）求PB的长度；

PB⊥平面ABCE；

（3）求直线CE与平面APE所成角的正弦值．

【导学号：

68334112】

[解]　

（1）因为AB平行且等于EC，

所以四边形ABCE是平行四边形，

所以BC∥AE，又因为BD⊥BC，所以BD⊥AE，

所以AE⊥FB，AE⊥FP，

即∠PFB为二面角PAEC的平面角.3分

又BF＝，PF＝2，

由余弦定理得BP2＝BF2＋PF2－2BF·

PFcos∠BFP＝9，

所以BP＝3.5分

BF＝，PF＝2，BP＝3，满足勾股定理，

所以BF⊥PB.

又因为BF⊥AE，PF⊥AE，BF∩PF＝F，

所以AE⊥平面PFB，所以AE⊥PB.7分

又BF∩AE＝F，则PB⊥平面ABCE.9分

（3）法一：

作BN⊥PF于点N，连接AN，

由

（2）可知，AE⊥平面BFP，所以平面BFP⊥平面APE，

又平面BFP∩平面APE＝PF，

所以BN⊥平面APE，12分

所以∠BAN是直线AB与平面APE所成的角．

在Rt△FBP中，BN＝BFsin＝，

sin∠NAB＝＝＝.13分

所以直线AB与平面APE所成角的正弦值为，

即直线CE与平面APE所成角的正弦值为.15分

法二：

由于BF，BP，BC两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，

则B（0,0,0），C（3,0,0），A（－1，，0），E（2，，0），P（0,0,3），则＝（3,0,0），

＝（1，－，3），12分

设平面APE的法向量为n＝（x，y，z），

则即

取z＝1，则n＝（0，，1），13分

设直线CE与平面APE所成的角为θ，

＝（1，－，0），

则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，

即直线EC与平面APE所成角的正弦值为.15分

[B组　名校冲刺]

1．已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°

，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是（　　）【导学号：

68334113】

图917

A.　　　　B.

C.D.

A　[将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱，如图所示，易知图中∠A1CD1为所求角．因为三棱柱的所有棱长均相等，不妨设为1，则根据此三棱柱的性质有A1D1＝A1C＝，CD1＝1，则由余弦定理得cos∠A1CD1＝＝，故选A.]

2．如图918，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是（　　）

图918

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

D　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.]

3．如图919，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是（　　）

图919

A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心

C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心

A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，

则PO⊥EF.

∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.]

4．如图920，小于90°

的二面角αlβ中，O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（　　）

图920

A．∠A′OB′为钝角

B．∠A′OB′>

∠AOB

C．∠AOB＋∠AOA′<

π

D．∠B′OB＋∠AOB＋∠AOA′>