高中数学高考二轮复习空间几何体教案含答案全国用Word下载.docx

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3．（2015·

山东）在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.B.C.D．2π

解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·

AB2·

BC－·

π·

CE2·

DE＝π×

12×

2－π×

1＝，故选C.

4．（2016·

浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°

，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．

答案　

解析　设直线AC与BD′所成角为θ，平面ACD翻折的角度为α，设点O是AC的中点，由已知得AC＝，如图，

以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由A，B，C，作DH⊥AC于点H，翻折过程中，D′H始终与AC垂直，CH＝＝＝，则OH＝，DH＝＝，

因此可设D′，

则＝，与平行的单位向量为n＝（0,1,0），所以cosθ＝|cos〈，n〉|＝＝，

所以cosα＝－1时，cosθ取最大值.

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.

2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一　三视图与直观图

1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．由三视图还原几何体的步骤

一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．

例1　

（1）（2016·

课标全国甲）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20πB．24πC．28πD．32π

（2）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×

4π×

4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×

4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.

（2）所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.

思维升华　空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

跟踪演练1　

（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

（2）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）由俯视图，易知答案为D.

（2）由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．

热点二　几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．

例2　

（1）（2016·

北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A.B.C.D．1

（2）如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为（　　）

A．66B．68

C．70D．72

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）由三视图知，三棱锥如图所示：

由侧视图得高h＝1，

又底面积S＝×

1＝.

所以体积V＝Sh＝.

（2）如图，连接DF，DC1，

那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝×

×

3×

4×

6＋×

（3＋6）×

6×

6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

思维升华　

（1）求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．

（2）求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．

跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

解析　由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF（置于长方体ABCD—MNFG中去观察），且点E为DG的中点，可得AB＝BC＝GE＝DE＝3，连接AG，所以多面体ABCDEF的体积为V多面体ABCDEF＝V三棱柱ADG—BCF－V三棱锥A—GEF＝×

（3＋3）×

3－×

（×

3）×

3＝.

热点三　多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图．

例3　

（1）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°

，则球O的表面积为（　　）

A．4πB．12π

C．16πD．64π

（2）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（　　）

A.cm3B.cm3

C.cm3D.cm3

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）在△ABC中，

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcos60°

＝3，

∴AC2＝AB2＋BC2，

即AB⊥BC，

又SA⊥平面ABC，

∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，

∴球O的直径＝＝4，

故球O的表面积为4π×

22＝16π.

（2）过球心与正方体中点的截面如图，

设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，

在Rt△OAB中，OA＝（R－2）cm，

AB＝4cm，

OB＝Rcm，

由R2＝（R－2）2＋42，得R＝5，

∴V球＝πR3＝π（cm3）．故选A.

思维升华　三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：

（1）点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；

（2）P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．

跟踪演练3　在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．

答案　π

解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．

据题意解得

∴长方体的体对角线长为＝，

∴三棱锥外接球的半径为.

∴三棱锥外接球的体积为V＝π·

（）3＝π.

1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．16B．8＋8

C．2＋2＋8D．4＋4＋8

押题依据　求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积．

答案　D

解析　由三视图知，

该几何体是底面边长为＝2的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，

易得BC⊥PC，BA⊥PA，

又PC＝＝＝2，

所以S△PCD＝S△PAD＝×

2×

2＝2，

S△PAB＝S△PBC＝×

2＝2.

所以几何体的表面积为4＋4＋8.

2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为（　　）

A．6πB．12π

C．32πD．36π

押题依据　多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点．

解析　因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以（2R）2＝3×

22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.

3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．

押题依据　求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注．

解析　如图所示，

设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×

2＝4πr≤4π×

＝2π（当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取等号）．

所以当r＝时，

＝＝.

A组　专题通关

1．如图所示，将图

（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图

（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（　　）

解析　由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图．

2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为（　　）

A．2B.

C.D.

解析　多面体ABCDE为四棱锥（如图），利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.

3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（　　）

A．8－2πB．8－π

C．8－D．8－

解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝（22－2×

12）×