届人教A版随机变量及其分布单元测试 1Word格式文档下载.docx
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依题意得
,解得,故.所以选A.
【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列,考查概率之和为,考查离散型随机变量的数学期望,还考查了方程的思想.属于基础题.
2.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则他恰好击中目标3次的概率为( )
A.0.93×
0.1B.0.93C.×
0.93×
0.1D.1-0.13
【答案】C
【解析】由独立重复试验概率公式可知选项正确.
3.正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别为( )
A、0,8B、0,4C、0,2D、0,2
【答案】D
4.已知随机变量服从正态分布,,则
A.B.C.D.
【答案】B
随机变量服从正态分布,,得出正态分布曲线关于对称,由此得出,进而求出的值.
:
∵随机变量,
∴正态分布曲线关于对称,
又与关于对称,且,
∴,
故选:
B.
本题考查正态分布曲线的特点,解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征,由特征得出.
5.已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形中随机投掷个点,则落入阴影部分的点个数的估计值为()
附:
若随机变量,则,.
由题意P(0<X≤1)=.即可得出结论
由题意P(0<X≤1)=.
则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×
=1359.
C.
关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ-σ<
X≤μ+σ),P(μ-2σ<
X≤μ+2σ),P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)的值.
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
6.随机变量的分布列如下:
-1
若,则的值是()
由题设可得,,所以由随机变量的方差公式可得,应选答案D。
7.小华与另外名同学进行“手心手背”游戏,规则是:
人同时随机选择手心或手背其中一种手势,规定相同手势人数更多者每人得分,其余每人得分.现人共进行了次游戏,记小华次游戏得分之和为,则为()
【解析】分析:
首先确定获胜的概率值,然后结合分布列的特征近似相应的概率值,最后求解数学期望即可.
详解:
设0表示手背,1表示手心,用5为的二进制数表示所有可能的结果,
其中第一位表示小华所出的手势,后四位表示其余四人的手势,
如下表所示,其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.
由古典概型计算公式可知,每次比赛小华获胜的概率为,
可能的取值为,该分布列为超几何分布,
,,
则数学期望:
.
本题选择B选项.
点睛:
本题主要考查古典概型的计算,离散型随机变量的期望,超几何分布及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.设,则随机变量的分布列是:
则当在内增大时()
A.增大B.减小
C.先增大后减小D.先减小后增大
研究方差随变化的增大或减小规律,常用方法就是将方差用参数表示,应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系,将方差表示为的二次函数,二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性,注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
方法1:
由分布列得,则
,则当在内增大时,先减小后增大.
方法2:
则
故选D.
易出现的错误有,一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟,无从着手;
二是计算能力差,不能正确得到二次函数表达式.
9.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()
若,则,
A.2386B.2718C.3413D.4772
试题分析:
根据正态分布的性质,,故选C.
考点:
1.正态分布;
2.几何概型.
【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点,属于容易题,结合参考材料中给出的数据,结合正态分布曲线的对称性,再利用几何概型即可求解,在复习过程中,亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.
10.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为()
(附:
若~,则,,
)
A.430B.215C.2718D.1359
因为,所以,所以阴影部分,故落入阴影部分的点的个数为,选B.
正态分布求概率.
11.甲、乙两人从1,2,…,15这15个数中,依次任取一个数(不放回).则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下,甲所取的数大于乙所取的数的概率是(
)
【解析】设事件A=“甲取到的数是5的倍数”,B=“甲所取的数大于乙所取的数”,又因为本题为古典概型概率问题,所以根据条件概率可知,,故选择D。
计算条件概率时,可以按以下步骤进行:
第一步,判断是否为条件概率,即是否有“已知”,“在…前提下”等字眼;
第二步,计算概率,有两种思路,一是缩减基本事件空间计算条件概率,即,二是条件概率计算公式。
12.随机变量ξ的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则的值为()
A.B.C.D.
,故选D.
二、填空题
13.已知随机变量服从二项分布,随机变量,则______。
【答案】9.6
【解析】随机变量服从二项分布,则有.
随机变量,所以.
14.设随机变量X的分布为,则的值为.
【答案】
由随机变量分布列的性质得,所以,的值为。
本题主要考查随机变量分布列的性质。
点评:
简单题,随机变量分布列的性质:
。
15.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;
②他恰好击中目标3次的概率是;
③他至少击中目标1次的概率是.
其中正确结论的序号是____.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①③
解:
∵射击一次击中目标的概率是0.9,
∴第3次击中目标的概率是0.9,
∴①正确,
∵连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,
∴本题是一个独立重复试验,
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×
0.1
∴②不正确,
∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.
∴③正确
16.加工某种零件需要两道工序,第一道工序出废品的概率为0.4,两道工序都出废品的概率为0.2,则在第一道工序出废品的条件下,第二道工序又出废品的概率为__________.
【答案】0.5
利用条件概率求解.
设第一道工序出废品为事件则,第二道工序出废品为事件,则根据题意可得,故在第一道工序出废品的条件下,第二道工序又出废品的概率
即答案为0.5
本题考查条件概率的求法,属基础题.
三、解答题
17.在公园游园活动中有这样一个游戏项目:
甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同;
每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率;
(2)在两次游戏中,记获奖次数为,求的数学期望.
(1),
(2)
(1)一次游戏中摸出3个白球,必然是从甲箱中摸出2个白球,乙箱中摸出1个白球1个黑球,利用组合数计算概率:
(2)先确定随机变量取法0,1,2,再求一次游戏中不获奖的概率:
一次游戏中摸出0个白球,必然是从甲箱中摸出2个黑球,乙箱中摸出2个黑球;
一次游戏中摸出1个白球,一是从甲箱中摸出1个白球1个黑球,乙箱中摸出2个黑球,二是从甲箱中摸出2个黑球,乙箱中摸出1个白球1个黑球,即,两次游戏相当于两次独立重复试验,因此
试题解析:
(1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件.
.
故在一次游戏中摸出3个白球的概率.
(2)的所有可能取值为0,1,2
的分布列为
·
8分
故的数学期望.·
10分
(或:
∵,∴,同样给分)
概率分布与数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.
18.某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:
尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ)从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望;
(Ⅱ)从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值;
(Ⅲ)为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是;
若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?
(Ⅰ)分布列见解析,;
(Ⅱ);
(Ⅲ)选择方案.
(Ⅰ)先根据直方图求出合格率,然后求出ξ的可能取值和相应的概率,作分布列,再利用随机变量的分布列进行求期望;
(Ⅱ)根据n件产品都合格的概率大于等于0.3,列不等式求解n的最大值;
(Ⅲ)根据期望求出A,B方案不合格的概率,即可选择.
(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为,从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且,,,,,所以的分布列为
故数学期望
(Ⅱ)随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.
(Ⅲ)按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数;
按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,
依题意,,