届人教A版随机变量及其分布单元测试 1Word格式文档下载.docx

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依题意得

，解得，故.所以选A.

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.

2．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为（　　）

A．0.93×

0.1B．0.93C．×

0.93×

0.1D．1－0.13

【答案】C

【解析】由独立重复试验概率公式可知选项正确.

3．正态总体的概率密度函数为，则总体的平均数和标准差分别为（　　）

Ａ、0，8B、0，4Ｃ、0，2Ｄ、0，2

【答案】D

4．已知随机变量服从正态分布，,则

A．B．C．D．

【答案】B

随机变量服从正态分布，，得出正态分布曲线关于对称，由此得出，进而求出的值.

：

∵随机变量，

∴正态分布曲线关于对称，

又与关于对称，且，

∴，

故选：

B．

本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征，由特征得出．

5．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）

附：

若随机变量，则，.

由题意P（0＜X≤1）=．即可得出结论

由题意P（0＜X≤1）=．

则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×

=1359．

C．

关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P（μ－σ<

X≤μ＋σ），P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<

X≤μ＋3σ）的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

6．随机变量的分布列如下：

-1

若，则的值是（）

由题设可得，，所以由随机变量的方差公式可得，应选答案D。

7．小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：

人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为（）

【解析】分析：

首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数学期望即可.

详解：

设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果，

其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，

如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.

由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为，

可能的取值为，该分布列为超几何分布，

，，

则数学期望：

.

本题选择B选项.

点睛：

本题主要考查古典概型的计算，离散型随机变量的期望，超几何分布及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时（）

A．增大B．减小

C．先增大后减小D．先减小后增大

研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

方法1：

由分布列得，则

，则当在内增大时，先减小后增大.

方法2：

则

故选D.

易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；

二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.

9．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

若，则，

A．2386B．2718C．3413D．4772

试题分析：

根据正态分布的性质，，故选C.

考点：

1.正态分布；

2.几何概型.

【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.

10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

（附:

若~，则，，

）

A．430B．215C．2718D．1359

因为，所以,所以阴影部分,故落入阴影部分的点的个数为,选B．

正态分布求概率．

11．甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数（不放回）．则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ 

）

【解析】设事件A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，，故选择D。

计算条件概率时，可以按以下步骤进行：

第一步，判断是否为条件概率，即是否有“已知”，“在…前提下”等字眼；

第二步，计算概率，有两种思路，一是缩减基本事件空间计算条件概率，即，二是条件概率计算公式。

12．随机变量ξ的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a为常数，则的值为（）

A．B．C．D．

，故选D．

二、填空题

13．已知随机变量服从二项分布，随机变量，则______。

【答案】9.6

【解析】随机变量服从二项分布，则有.

随机变量,所以.

14．设随机变量X的分布为，则的值为．

【答案】

由随机变量分布列的性质得，所以，的值为。

本题主要考查随机变量分布列的性质。

点评：

简单题，随机变量分布列的性质：

。

15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是；

③他至少击中目标1次的概率是．

其中正确结论的序号是____．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①③

解：

∵射击一次击中目标的概率是0.9，

∴第3次击中目标的概率是0.9，

∴①正确，

∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，

∴本题是一个独立重复试验，

根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×

0.1

∴②不正确，

∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14．

∴③正确

16．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．

【答案】0.5

利用条件概率求解.

设第一道工序出废品为事件则，第二道工序出废品为事件，则根据题意可得，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率

即答案为0.5

本题考查条件概率的求法，属基础题.

三、解答题

17．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：

甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；

每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；

（2）在两次游戏中，记获奖次数为，求的数学期望．

（1），

（2）

（1）一次游戏中摸出3个白球，必然是从甲箱中摸出2个白球，乙箱中摸出1个白球1个黑球，利用组合数计算概率：

（2）先确定随机变量取法0，1，2，再求一次游戏中不获奖的概率：

一次游戏中摸出0个白球，必然是从甲箱中摸出2个黑球，乙箱中摸出2个黑球；

一次游戏中摸出1个白球，一是从甲箱中摸出1个白球1个黑球，乙箱中摸出2个黑球，二是从甲箱中摸出2个黑球，乙箱中摸出1个白球1个黑球，即，两次游戏相当于两次独立重复试验，因此

试题解析：

（1）记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件．

．

故在一次游戏中摸出3个白球的概率．

（2）的所有可能取值为0，1，2

的分布列为

·

8分

故的数学期望．·

10分

（或：

∵，∴，同样给分）

概率分布与数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

18．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:

注:

尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.

（Ⅰ）从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；

（Ⅱ）从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；

（Ⅲ）为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；

若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?

（Ⅰ）分布列见解析，；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）选择方案.

（Ⅰ）先根据直方图求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相应的概率，作分布列，再利用随机变量的分布列进行求期望；

（Ⅱ）根据n件产品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值；

（Ⅲ）根据期望求出A，B方案不合格的概率，即可选择.

（Ⅰ）由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为,从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且,,,,,所以的分布列为

故数学期望

（Ⅱ）随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.

（Ⅲ）按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；

按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,

依题意,,