高考数学文科分类汇编解析几何Word文档下载推荐.docx

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（1）求M的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

20．解：

（1）圆C的方程可化为x2＋（y－4）2＝16，

所以圆心为C（0，4），半径为4.

设M（x，y），则CM＝（x，y－4），MP＝（2－x，2－y）．

由题设知CM·

MP＝0，故x（2－x）＋（y－4）（2－y）＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－3）2＝2.

（2）由

（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋.

又|OM|＝|OP|＝2，O到直线l的距离为，

故|PM|＝，所以△POM的面积为.

21．、、、[2019·

重庆卷]如图15，设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程；

若不存在，请说明理由．

图15

21．解：

（1）设F1（－c，0），F2（c，0），其中c2＝a2－b2.

由＝2　得|DF1|＝＝c.

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.

从而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2　，故a＝，b2＝a2－c2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.

由

（1）知F1（－1，0），F2（1，0），所以＝（x1＋1，y1），＝（－x1－1，y1）．再由F1P1⊥F2P2得－（x1＋1）2＋y＝0.

由椭圆方程得1－＝（x1＋1）2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得·

＝－1.

而y1＝|x1＋1|＝，故y0＝.

圆C的半径|CP1|＝＝.

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为

x2＋＝.

H2　两直线的位置关系与点到直线的距离

18．、、、[2019·

江苏卷]如图16所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：

新桥BC与河岸AB垂直；

保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝.

（1）求新桥BC的长．

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

图16

18．解：

方法一：

（1）如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A（0,60）,C（170，0），

直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.

又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB＝.

设点B的坐标为（a，b），

则kBC＝＝－，kAB＝＝，

解得a＝80,b＝120，

所以BC＝＝150.

因此新桥BC的长是150m.

（2）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM＝dm（0≤d≤60）．

由条件知，直线BC的方程为y＝－（x－170），

即4x＋3y－680＝0.

由于圆M与直线BC相切，故点M（0,d）到直线BC的距离是r，

即r＝＝.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以

即

解得10≤d≤35.

故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大，

所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．

方法二：

（1）如图所示，延长OA,CB交于点F.

因为tan∠FCO＝，

所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.

因为OA＝60，OC＝170，

所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝＝，从而AF＝OF－OA＝.

因为OA⊥OC,所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.

又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，从而BC＝CF－BF＝150.

（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm（0≤d≤60）．

因为OA⊥OC,所以sin∠CFO＝cos∠FCO.

故由

（1）知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，

所以

故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大，

22．、、[2019·

全国卷]已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

22．解：

（1）设Q（x0，4），代入y2＝2px，得x0＝，

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×

，解得p＝－2（舍去）或p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1（m≠0）．

代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段AB的中点为D（2m2＋1，2m），

|AB|＝|y1－y2|＝4（m2＋1）．

又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4（2m2＋3）＝0.

设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3＋y4＝－，y3y4＝－4（2m2＋3）．

故线段MN的中点为E，

|MN|＝|y3－y4|＝.

由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而

|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即

4（m2＋1）2＋＋＝

，

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.

所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

H3　圆的方程

17．[2019·

湖北卷]已知圆O：

x2＋y2＝1和点A（－2，0），若定点B（b，0）（b≠－2）和常数λ满足：

对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则

（1）b＝________；

（2）λ＝________．

17．

（1）－　

（2）　[解析]设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|＝λ|MA|得（cosθ－b）2＋sin2θ＝λ2，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由|MB|＝λ|MA|，得λ>

0，且b≠－2，解得

（1）如图所示，以O为坐标原点，OC所