局部脑血流测定论文Word下载.doc
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二．问题分析
2.1对问题1的分析：
针对问题1，题目中给出了动脉血，脑血流对脑部计数率的影响。
首先，脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比，且比例系数反应该处的脑血流量。
另外，脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速率与当时呼出气的记数率成正比。
由这两个正比关系即可得到脑部地区计数率总的变化率与时间的关系，列出微分方程，建立微分方程数学模型。
2.2对问题2的分析：
针对问题2，由问题1建立的微分方程模型进行求解。
考虑模型是二元一阶方程，无法求解。
我们对呼出气的计数率与时间的数据进行处理，用matlab进行拟合得到它们之间的关系方程，带入模型，模型变为一阶线性常微分方程，进而可以求解。
三．模型假设
1.假设题目所给数据均真实可靠；
2.假设受试者的脑血流量不受吸入放射性同位素气体的影响；
3.假设受试者在吸入放射性同位素气体前，脑中无这种放射性同位素气体；
4.假设脑部计数率的下降只与脑血流有关，且下降速率与该处的计数率成正比；
5.假设脑部计数率的上升只与动脉血有关，且上升速率与当时呼出气的计数率成正比；
6.假设每次测量的数据均是相互独立的。
四．符号说明
符号
意义
表示时间
时刻头部计数率
时刻呼出气计数率
脑部计数率下降的速率与该处计数率成正比关系的比例系数
脑部计数率上升的速率与当时呼出气的计数率成正比关系的比例系数
自定义常数，
误差的大小
差值
五．模型的建立与求解
5.1.1建模准备
过程分析：
以脑部计数率为研究对象，脑部计数率的变化分两个过程：
1、脑血流使得脑部计数率下降，并且下降速率与该时刻脑部计数率成正比；
2、动脉血使得头部计数率上升，并且上升速率与该时刻呼出气计数率成正比。
如图1：
动脉血
头部计数率
上升：
速率与该时刻头部计数率成正比
下降：
速率与该时刻呼出气计数率成正比
脑血流
图1头部计数率变化流程图
5.1.2建模过程
根据头部计数率变化流程图建立以下模型：
设时刻头部计数率为，呼出气计数率为，经过时刻，由脑血流引起的头部计数率的变化，；
由动脉血引起的头部计数率的变化，则经过时刻头部计数率的总变化量，即：
，此方程为二元一阶常系数线性常微分方程。
消元法求解：
该方程为二元方程，不能求解，考虑消去。
引入呼出气计数率与时间的函数关系：
，带入原方程得：
，即：
此方程为一阶线性非齐次常微分方程。
设定初始值：
，
即求解：
5.2.1模型求解
受试者脑血流系数的计算：
将原始数据脑部计数率与时间，呼出气计数率与时间的关系用matlab进行拟合，得到拟合曲线如图2，
图2计数率随时间变化趋势图
由图可以看出呼出气计数率与时间大致呈指数函数关系，因此，对呼出气数据进行取对数变换，得表2：
表2呼出气计数率对数变换表
时间
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
呼出气记数率
2231
1534
1054
724
498
342
235
162
111
76
52
36
25
17
12
8
6
取对数
7.7102
7.3356
6.9603
6.5848
6.2106
5.8348
5.4596
5.0876
4.7095
4.3307
3.9512
3.5835
3.2189
2.8332
2.4849
2.0794
1.7918
1.3863
1.0986
0.6931
取对数大于0的部分，用MATLAB进行一次多项式拟合，得拟合系数，拟合曲线如图3：
图3对数变换一次拟合直线
与原始数据得到很好的匹配。
取对数后，即
5.2.2残差分析：
残差平方和的概念：
为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把公式数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差平方后加起来称为残差平方和。
对所求的的函数进行数据残差分析：
用MATLAB工具求得该残差平方和为：
，残差平方和很小，说明误差很小。
5.2.3数据检验：
绘制原始数据与函数的对比图，如图4：
图4数据检验图
将代入原方程：
根据线性一阶非齐次微分方程的通式及其通解形式，解得：
令
得，其中。
5.2.4模型结果：
采用最小二乘法进行拟合，拟合曲线见图5：
图5最小二乘拟合曲线
得到参数：
根据求得动脉血头部计数率上升系数
5.2.5模型检验：
5.2.5.1初值分析检验
当时，
代入得：
时，与所给初始值1534近似相等
所得误差为：
误差非常的小，因此验证了该模型的准确性。
5.2.5.2差值分析检验
设时刻头部计数率的真实值为表示，拟合值为，差值。
做时间——差值图：
图6差值分析图
由图可以看出，差值在直线上下波动，起伏很小，验证了结果的准确性。
六．模型评价与推广
6.1.模型的评价
模型的优点：
模型属于微分方程模型，比较简单，但结果比较准确。
模型多次利用MATLAB进行数据拟合，且拟合结果均与实际相符合，对呼出气计数率与时间的关系先进行拟合，再提出猜想，最后进行验证，证明正确性。
模型求解采用最小二乘法拟合，最后将结果做差值图进行验证，得出较小的误差与分析，由此可以看出，模型结果比较准确，与实际相符合。
因此模型对实际脑部血流量的测定有很好的指导意义。
模型的缺点：
本模型在建立的过程中没有考虑这种放射性同位素的衰变，以及动脉血从肺部到脑部所需要的时间，因此结果比较理想化，可能与实际存在一定误差。
6.2.模型的推广
本模型可以推广到其他用放射性同位素测试的实际问题中，找出所研究问题与可以放射性同位素之间的关系，同样列出常微分方程模型进行求解。
同时该模型在医疗方面，可对病人病情进行检测。
具有很好的实际指导意义。
当考虑同位素的衰变，动脉血从肺部到脑部所需要的时间等因素后，可以实际测得这些数据，用本模型依然可以实现。
七．参考文献
[1]曹卫华,郭止.最优化技术方法及MATLAB的实现[M],北京：
化学工业出版社，2005.1
[2]王家文，王皓，刘海.MATLAB7.0编程基础[M],北京：
机械工业出版社，2005.7
[3]刘志平，石林英.最小二乘法原理及其MATLAB实现[J],中国科技西部，2008，17（7）:
33-34
八．附录
表1某受试者的测试数据
头部记数率
1.00
5.75
225
1.25
1528
6.00
199
1.50
1468
6.25
175
1.75
1378
6.50
155
2.00
1272
6.75
137
2.25
1162
7.00
121
2.50
1052
7.25
107
2.75
947
7.50
94
3.00
848
7.75
83
3.25
757
8.00
73
3.50
674
8.25
65
3.75
599
8.50
57
4.00
531
8.75
50
4.25
471
9.00
44
4.50
417
9.25
39
4.75
369
9.50
35
5.00
326
9.75
31
5.25
288
10.00
27
5.50
255
附源程序代码：
%data.m
clear;
closeall;
clc;
a=xlsread（'
C:
\Users\谷柏辰\Desktop\data.xls'
）
t=1:
0.25:
10;
plot（t,a（1,:
）,'
-b'
）;
holdon
plot（t,a（2,:
-r'
functionf=fun（x,xdata）
n=length（xdata）;
fori=1:
n
f（i）=x
（1）*exp（-1.4808*xdata（i））+x
（2）*exp（-x（3）*xdata（i））;
end
clc
t=[1:
5.75];
m=[22311534105472449834223516211176523625171286432];
p
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