实数基本理论的研究毕业论文Word文档格式.doc

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学生姓名:

朱文顶学号:

0707010219专业:

数学与应用数学

1设计（论文）题目及专题：

实数基本理论的研究

2学生设计（论文）时间：

自2011年2月22日开始至2011年5月20日止

3设计（论文）所用资源和参考资料：

[1]华东师范大学数学系.数学分析第三版（上）.高等教育出版社.2001.

[2]田国华.数学分析辅导及习题全解.人民日报出版社.2004.

[3]李成章黄玉民.数学分析第二版（上）.科学出版社.2007.

4设计（论文）应完成的主要内容：

（1）给出实数完备性定理的内容；

（2）给出实数完备性定理的证明；

（3）给出实数完备性定理的等价证明；

（4）给出实数完备性定理的简单应用。

5提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：

提交一份8000字以上的纸质文档和电子文档，要求打印格式按湖南科技大学关于本科生毕业论文的要求，论文内容要求格式正确，论证充分，而且具有一定的创新。

6发题时间：

2010年12月30日

指导教师：

（签名）

学生：

毕业设计（论文）指导人评语

[主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价]

指导人：

（签名）

年月日

指导人评定成绩：

毕业设计（论文）评阅人评语

[主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价]

评阅人：

评阅人评定成绩：

毕业设计（论文）答辩记录

日期：

学生：

学号：

班级：

题目：

提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料：

1设计（论文）说明书 共 页

2设计（论文）图纸 共 页

3指导人、评阅人评语 共 页

毕业设计（论文）答辩委员会评语：

[主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价]

答辩委员会主任：

（签名）

委员：

（签名）

答辩成绩：

总评成绩：

分析中实数基本理论及其应用

摘要

实数是数学中重要的一部分，也是整个数学分析研究的基础，因此，实数基本理论在整个数学分析中占有十分重要的地位。

在实数基本理论中，实数的几个基本定理体现了实数的一种特性——实数的完备性（或者说实数的连续性）。

本文主要介绍了实数基本理论中的实数完备性及实数完备性定理的证明和等价证明，并给出了实数完备性定理的简单应用。

关键词：

实数；

实数完备性；

等价证明。

ABSTRACT

Realnumberwasanimportantpartofmathematics,butalsothefoundationofanalysis,therefore,fundamentaltheoriesofrealnumbersplayveryimportantpositioninthemathematicalanalysis.Inthefundamentaltheoriesofrealnumbers,severalfundamentaltheoremsakindcharacteristicofrealnumbers--completenessofrealnumbers（orcontinuityofrealnumbers）.Thispapersmainlyintroducethecompletenessofrealnumbersinfundamentaltheoriesofrealnumbersandcompletenesstheorem'

sproofandequivalentproof,andgivesimpleapplicationoftherealcompletenesstheorem.

Keywords:

realnumbers;

completenessofrealnumbers;

equivalentproof.

目录

第一章引言 -1-

第二章预备知识 -2-

定义2.1：

上界（下界） -2-

定义2.2：

上确界 -2-

定义2.3：

下确界 -2-

定义2.4：

单调数列 -2-

定义2.5：

（数列）极限及其性质 -2-

定义2.6：

闭区间套 -3-

定义2.7：

聚点 -3-

定义2.8：

无限开覆盖（有限开覆盖） -3-

定义2.9：

一致连续性 -4-

定义2.10：

连续函数的局部有界性 -4-

定义2.11：

连续函数的局部保号性 -4-

第三章实数基本性质 -5-

3.1实数完备性 -6-

3.1.1确界原理 -6-

3.1.2单调有界定理 -6-

3.1.3区间套定理 -6-

3.1.4有限覆盖定理 -6-

3.1.5聚点定理 -6-

3.1.6柯西收敛准则 -6-

3.2实数完备性定理的证明 -7-

3.2.1确界原理证明 -7-

3.2.2单调有界定理证明 -8-

3.2.3区间套定理证明 -8-

3.2.4有限覆盖定理证明 -9-

3.2.5聚点定理证明 -10-

3.2.6柯西收敛准则证明 -10-

3.3实数完备性定理的相互证明 -13-

3.3.1确界原理单调有界定理（同单调有界定理的证明） -13-

3.3.2单调有界定理区间套定理（同区间套定理的证明） -13-

3.3.3区间套定理有限覆盖定理（同有限覆盖定理的证明） -14-

3.3.4有限覆盖定理聚点定理 -15-

3.3.5聚点定理柯西收敛准则 -15-

3.3.6柯西收敛准则确界原理 -16-

第四章应用 -18-

4.1有界性定理（应用有限覆盖定理） -18-

4.2最大、最小值定理（应用确界原理） -19-

4.3介值定理（应用确界原理） -19-

4.4一致连续性定理（应用有限覆盖定理） -20-

第五章结论 -21-

参考文献 -22-

致谢 -23-

-22-

湖南科技大学本科生毕业设计（论文）

第一章引言

本文将介绍实数的完备性的六个定理及其等价证明，以及实数完备性定理的简单应用。

.

有理数和无理数统称为实数。

有理数可用分数形式表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；

无理数为无限十进不循环小数。

在研究中，我们可作如下规定：

对于有限小数（包括正整数），当

时，其中，记

，

而当为正整数时，则记

例如2.001记为2.00099999...;

对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.9999...;

又规定数0表示为0.000...。

这样，任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。

第二章预备知识

上界（下界）

设为中一个数集。

若存在数，使得对一切，都有，则称为有上界（下界）的数集，数称为的一个上界（下界）。

上确界

设是中一个数集。

若数满足：

（i）对一切，有，即是的上界；

（ii）对任何，

则称数为数集的上确界，记作。

下确界

（i）对一切，有，则是的下界；

则称数为数集的下确界，记作。

单调数列

若数列的各项满足关系式，则称数列为递增（递减）数列。

递增数列和递减数列统称为单调数列。

（数列）极限及其性质

设为数列，为定数。

若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。

唯一性若数列收敛，则它只有一个极限。

有界性若数列收敛，，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有。

保号性若，则对任何，存在正整数，使得当时有。

保不等式性设与均为收敛数列。

若存在正数，使得当时有，则。

迫敛性设收敛数列，都以为极限，数列满足：

存在正数，当时有，则数列收敛，且。

闭区间套

设闭区间列，具有如下性质：

（1）；

（2.6.1）

（2）， （2.6.2）

则称为闭区间套，或简称区间套。

聚点

设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于），若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点。

无限开覆盖（有限开覆盖）

设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形