圆锥曲线经典题型总结(含答案)Word文件下载.doc

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注意：

1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

椭圆：

由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：

由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

3．与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为－＝λ（λ≠0），渐近线方程为y＝±

x的双曲线方程也可设为－＝λ（λ≠0）．要求双曲线－＝λ（λ≠0）的渐近线，只需令λ＝0即可．

4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．

解决直线与圆锥曲线问题的通法

（1）设方程及点的坐标．

（2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程．

（3）应用韦达定理及判别式．

（4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

5．若直线与圆锥曲线交于两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2的斜率为k，则弦长|P1P2|＝|x1－x2|＝|y1－y2|（k≠0）．|x1－x2|，|y1－y2|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：

|x1－x2|＝，|y1－y2|＝.

6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题

（1）通法．联立方程利用根与系数的关系

（2）“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．

点差法的步骤：

①将两交点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入曲线的方程．

②作差消去常数项后分解因式得到关于x1＋x2，x1－x2，y1＋y2，y1－y2的关系式．

③应用斜率公式及中点坐标公式求解．

特别提醒：

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

6．求曲线方程的基本方法有：

（1）直译法：

建系、设动点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简单的问题；

（2）定义法：

如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；

（3）相关点法（坐标代换法）：

若动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x1，y1），而Q（x1，y1）又在某已知曲线上，则可先写出关于x1，y1的方程，再根据x1，y1与x，y的关系求出P（x，y）的轨迹方程；

（4）待定系数法：

若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线等），可用待定系数法；

（5）点差法：

求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；

（6）交轨法：

先根据条件求出两条动曲（直）线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.

7.常见类型转化：

①“以弦AB为直径的圆过点0”

（提醒：

需讨论K是否存在）

②“点在圆内、圆上、圆外问题”“钝角、直角、锐角问题”“向量的数量积小于、等于、大于0问题”<

0；

=0;

>

③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

例如：

EF平分

一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用

例1.

（1）如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6,0）,M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（）

A.+=1 B.－=1

C.+=1 D.-=1

解：

由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>

|OA|=6根据椭圆的定义知:

P点轨迹方程为+=1.所以选A

（2）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝（　　）

A．9B．6C．4D．3

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

抛物线焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1.

由已知得x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0，

而|FA|＝x1－（－1）＝x1＋1，

|FB|＝x2－（－1）＝x2＋1，

|FC|＝x3－（－1）＝x3＋1，

∴|FA|＋|FB|＋|FC|

＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝（x1＋x2＋x3）＋3＝3＋3＝6.

例2.

（1）若双曲线－＝1（a>

0，b>

0）与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围为（　　）

A．（1,2）B．（1,2]C．（1，）D．（1，]

（2）函数y＝的图象上至少存在不同的三点到（1,0）的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．

（3）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

（4）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）w_w_w.k*s5*u.co*m

（A）（B）（C）（D）

A.B.C.D.

（6）一只双曲线O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I,且圆I与x轴相切与点A,过作直线PI的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率e=,则（）

A.B.C.D.

[解析]

（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±

x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x，应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<

e≤2，选B.

（2）函数y＝可变为＋＝1（y≥0），（1,0）为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；

要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为.

（3）

【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：

，则一个焦点为

一条渐近线斜率为：

，直线的斜率为：

，，

，即e2-e-1=0,所以或（舍去）

（4）解析：

由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，

即F点到P点与A点的距离相等w_ww.k#s5_u.co*m

而|FA|＝w_w_w.k*s5*u.co*m

|PF|∈[a－c,a＋c]

于是∈[a－c,a＋c]

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

（5）答案：

B

（6）答案：

C

解析：

依题意设内切圆与的切点分别为M,N,A.

且。

设A的横坐标为x，可得c+x-（c-x）=2a,即x=a,所以；

延长则B为中点，O为的中点，又因为

三、直线与圆锥曲线的位置关系

例3.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）

A.B.C.D．2

变式题过抛物线y2＝2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．不确定D．钝角三角形

例3[答案]C

[解析]如图，设A（x0，y0）（y0<

0）．易知抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），抛物线的准线方程为x＝－1，故由抛物线的定义得|AF|＝x0－（－1）＝3，解得x0＝2，所以y0＝－2，故点A（2，－2）．则直线AB的斜率为k＝＝－2，直线AB的方程为y＝－2x＋2，联立消去y得2x2－5x＋2＝0，由x1x2＝1，得A，B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为.再由抛物线的定义得＝－＝，＝＋＝3＋＝.

又因为点O到直线AB的距离为d＝，

所以S△AOB＝×

×

＝.

变式题[答案]D

[解析]设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则·

＝（x1，y1）·

（x2，y2）＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2<

0，所以∠AOB为钝角，故△OAB一定为钝角三角形．

五、圆锥曲线背景下的定点问题

[例5]（2012年·

福建卷）如图，椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线l：

y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：

在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？

若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

[解析]　

（1）因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，

即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8.

又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，

所以4a＝8，a＝2.

又因为e＝，即＝，所以c＝1，

所以b＝＝.

故椭圆E的方程是＋＝1.

（2）由消去y得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4（4k2＋3）（4m2－12）＝0，

化简得4k2－m2＋3＝0.（*）

所以P（－，）．

由得Q（4，4k＋m）

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．

设M（x1，0），则对满足（*）式的m，k恒成立．

因为=（－－x1，），=（4－x1，4k＋m），

由，得

－＋－4x1＋x＋＋3＝0，

整理，得（4x1－4）＋x－4x1＋3＝0. （**）

由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，

所以解得x1＝1.

故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.

跟踪练习

（1）由题意知，c=1

根据椭圆定义得，

所以，所以椭圆C的标准方程为

（2）假设在x轴上存在定点Q（m,0）,使得恒成立。

当直线

解得

由于

与椭圆方程联立得

法二：

假设存在，设Q（t,0）则

六、圆锥曲线背景下的定值问题

例6：

（2012·

湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：

（x－5）2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

（1）求曲线C1的方程；

（2）设P（x0，y0）（y0≠±

3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：

当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．