五年级奥数.数论.因数个数(A级).学生版Word格式文档下载.doc
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“第三天你再给我1万，我给你
“4分！
就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。
吝啬的富翁心想：
这家伙可能神经出了毛病，便问：
“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？
“我是人人都知道的百万富翁。
”精明的富翁说：
“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。
但是你给我的钱也1分不能少！
吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。
吝啬的富翁说：
“你敢签订协议吗？
于是他们找来了几个公证人，签了协议。
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。
天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。
第二天，对方仍然如约送来了1万元。
他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！
想着，想着，数钱的手都颤抖了！
于是自己也如约给了对方2分钱。
对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱：
“别忘了，明天给我4分钱！
可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。
对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。
到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。
聪明的小朋友，你们说这是为什么？
原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。
他需要付给对方的钱，总数是：
1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。
即：
一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。
这是一个何等大的数目呀，吝啬的富翁当然会把全部家当都输光了。
知识框架
一、约数的概念与最大公约数
0被排除在约数与倍数之外
1．求最大公约数的方法
①分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
，，所以；
②短除法：
先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
，所以；
③辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的）．
例如，求600和1515的最大公约数：
；
所以1515和600的最大公约数是15．
2．最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．
3．求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；
求出各个分数的分母的最小公倍数a；
求出各个分数的分子的最大公约数b；
即为所求．
二、倍数的概念与最小公倍数
1.求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
②短除法求最小公倍数；
，所以；
③．
2.最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3.求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；
求出各个分数分子的最小公倍数；
求出各个分数分母的最大公约数；
即为所求．例如：
注意：
两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．
2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
，210就是567的最小公倍数
b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
，而6,7,8的最小公倍数为
性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1．求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积。
如:
1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有（3+1）×
（2+1）×
（1+1）=4×
3×
2=24个。
（包括1和1400本身）
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：
，所以21000所有约数的和为
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
重难点
重点：
本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；
倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.
难点：
核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为的结构”
例题精讲
【例1】数360的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
【巩固】数的约数个数是多少？
它们的和是多少？
它们的积呢?
【例2】求在到中，恰好有个约数的所有自然数.
【巩固】在到中，恰好有个约数的数有多少个？
【例3】甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.
【巩固】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
（★★）
【例4】如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。
老鼠对鼹鼠说：
“你挖完后，我再挖。
”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？
【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；
从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？
【例5】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？
【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．
【例6】
（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）六年级复赛）如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：
当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【例7】恰有8个约数的两位数有________个．
【巩固】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个．
【例8】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.
【巩固】自然数N有45个正约数。
N的最小值为。
【例9】已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．
【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
课堂检测
1、有多少个约数？
这些约数的和是多少？
2、筐里有个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？
3、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
4、在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？
5、1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．
6、A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
复习总结
1、最大公约数与最小公倍数的常用性质
2、求任一整数的所有约数的和
3、求任一整数约数的个数
家庭作业
1、筐里有个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？
2、马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；
李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.
3、能被210整除且恰有210个约数的数有个．
4、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“”（脱靶），或者是不超过的自然数.甲、乙两名运动员各射了箭，每人箭得到的环数的积都是，但是甲的总环数比乙少环.求甲、乙的总环数各是多少？
5、有一个自然数，它的个位是零，它共有个约数，这个数最小可能是多少？
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