西南大学2019秋[0158]《高等代数》在线作业答案Word下载.docx
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叙述下列概念
参考答案:
高等代数第一次作业参考答案
1.数域P上多项式p(x)在P上不可约。
答:
p(x)为数域P上多项式,(p(x)) 1,如果p(x)不能表成数域P上两个次数比p(x)的次数低上不可约多项式。
2.数域P上n维向量组1,2, ,m线性相关。
km P
若存在不全为零的数k1,k2,
,使得k11
k22 0,则称向量组1,2,
km
m
3.数域P上n维向量组1,2, ,m的秩。
向量组1,
2, ,m的极大无关组所含向量的个数称为1,
2, ,m的秩。
4.矩阵A可逆。
设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得
则称A是可逆的,也称A为可逆矩阵。
5.线性空间V的维数
AB BA E,
设V为P上线性空间,若在V中有n个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量,
n。
6.线性空间V的线性变换。
设V为P上线性空间,A为V的变换,满足
(1)对任何, V,有A( )=A( )+A();
(2)对任何k P,
V,有A(k
)=kA()。
则称A为V的线性变换。
12、 高等代数第二次作业.doc
参考答案:
计算题1.设f(x)解:
由算式
4x3
3x2
2x1,g(x)
x2
8x2
5x2
2x
x212x10x10x
高等代数第二次作业参考答案
3为有理数域上的多项式,求g(x)除f(x)的商式q(
2x 3 4x3
3x2 2x
1
4x
5
15
16
得q(x)
4x 5,r(x)
16。
2.计算下面行列式的值:
(1)D= cb a
1 1
a b ;
c b a c
解:
将第2行加到第3行,则新行列式的1,3行成比例,所以D=0。
(2)Dn=
0 1 L 1
1 0 L 1。
LLLL
1 1 L 0
将第2,3,…,n行都加到第1行,并从第1行提公因子(n
1)得
1 L 1
将第1行的(-1)倍分别加到第2,3,…,n行得
Dn=
1
(n1)
L
0 L 1,
LLL
1 L 0
所以Dn=(
1)n1(n
1)。
Dn=
(n1)0
1 L 1
1L 0,
L L L
0 L 1
3.设A=
1 1 0
0 1 1
1 0 2
,试判断A是否可逆,若可逆,则求出A–1。
因为A 1 0,所以A可逆。
计算A中各元素的代数余子式可得A的伴随矩阵为
A
2 2 1
1 2 1 ,
1 1 1
所以A1 1A A
2 2 1
1 2 1 。
4.设1
的秩。
(1,0,2,3),2
(0,1,5,0),3
(3,2,0,4),4
(1,1,7,3)为F4中一个向量组,求该向量组
解:
以1,2,3,
4为列向量构成矩阵
3
2
7
4
A ,
对A做初等行变换可化为
,
于是1,2,3为一个极大线性无关组,并且向量组的秩为3。
5.设V
P3,
(1,0,0),2
(1,1,0),3
(1,1,1),
1 (0,0,1),2
(0,1,1),3
求由基
1,2,
3到基
3的过渡矩阵。
观察可得
1 01 2 3, 2 1
02 3。
3
01 0
2 3。
所以由基
3的过渡矩阵为
0 10
1 0 0。
6..求下面的齐次线性方程组的一个基础解系
x1
x2
x5
x3
0。
x4
所以一般解为:
x3
x2 x5x5
,其中x2,x5是自由未知数。
基础解系为:
1
x4 0
(1,1,0,0,0),2
(1,0,1,0,1)。
13、 高等代数第三次作业.doc
高等代数第三次作业参考答案
证明题
1..设V
Pnn是数域P上全体n阶方阵关于矩阵加法及数与矩阵的数乘构成的线性
明:
W是V的子空间。
证明:
由于n阶零矩阵在W中,所以W是V的非空子集。
对 A,B W,有Tr(A B)
Tr(A)
Tr(B) 0,所以A B W。
对 k P,
AW,有Tr(kA)
kTr(A) 0,所以kAW。
所以W是V的子空间。
2.设向量组 1,
2,3线性相关,向量组2,3,
4线性无关,证明:
(1)) 1可由2,3线性表示;
(2)) 4不能由1,2,3线性表示。
(1)由 2,3,
线性表示。
4线性无关知,其部分组 2,
3线性无关;
由于 1,
2,3线性相关,而2
(2)若 4能由1,
盾。
2,3线性表示,由于
(1) 1可由 2,
3线性表示,则 4能由 2,
3线性
3.设A为n阶矩阵,A的秩R(A) n。
证明存在n阶非零矩阵B使AB 0。
因为A的秩R(A) n,所以齐次线性方程组AX=0有非零解。
令 为一个非零解,做n阶矩阵B
(,0, ,0),则AB
0,且B为零矩阵。
4.设向量组 1,
2,3线性无关,证明:
向量组1 2,2
23,3
31线性无关。
设k1(
1 2)
k2(2
23)
k3(3
31) 0,则
(k1
3k3)1
(k1
k2)2
(2k2
k3)3 0
由于 1,2,3线性无关,所以
k1k12k2
3k3 0
k2 0
k3 0
所以k1
0,k2
0,k3
0,所以 1 2,2
31线性无关。