1、叙述下列概念参考答案:高等代数第一次作业参考答案1. 数域 P 上多项式 p(x)在 P 上不可约。答:p(x)为数域 P 上多项式, ( p(x)1,如果 p(x) 不能表成数域 P 上两个次数比 p(x) 的次数低上不可约多项式。2. 数域 P 上 n 维向量组 1 , 2 , m 线性相关。, kmP若存在不全为零的数k1 ,k2 ,,使得k1 1k2 20 ,则称向量组 1 , 2 ,kmm,3. 数域 P 上 n 维向量组 1 , 2 , m 的秩。向量组 1 ,2 , m 的极大无关组所含向量的个数称为 1 ,2 , m 的秩。4. 矩阵 A 可逆。设 A 为 n 阶方阵,若存在
2、n 阶方阵 B,使得则称 A 是可逆的,也称 A 为可逆矩阵。5. 线性空间 V 的维数ABBAE ,设V 为 P 上线性空间,若在V 中有 n 个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量,n。6. 线性空间 V 的线性变换。 设 V 为 P 上线性空间,A 为 V 的变换,满足(1)对任何 ,V ,有 A () = A() +A ( );(2)对任何kP,V , 有 A (k) = kA( ) 。则称 A 为 V 的线性变换。12、高等代数第二次作业.doc参考答案:计 算 题 1 设 f (x) 解:由算式4x 33x 22x 1 , g (x)x 28x 25x22xx 2 12x
3、10x 10x高等代数第二次作业参考答案3 为有理数域上的多项式,求 g(x)除 f(x)的商式 q(2x34x33x 22x14x51516得q(x)4x5 , r( x)16 。2. 计算下面行列式的值:(1) D=c ba11ab;cbac解:将第 2 行加到第 3 行,则新行列式的 1,3 行成比例,所以 D= 0 。(2) Dn=01L110L1 。L L L L11L0将第 2,3,n 行都加到第 1 行,并从第 1 行提公因子(n1) 得1L1将第 1 行的(-1)倍分别加到第 2,3,n 行得Dn=1(n 1)L0L1 ,L L L1L0所 以 Dn= (1)n 1 (n1)
4、。Dn=(n 1) 01L11 L0 ,LLL0L13. 设 A=110011102,试判断 A 是否可逆,若可逆,则求出 A1 。因为 A10 ,所以 A 可逆。计算 A 中各元素的代数余子式可得 A 的伴随矩阵为A221121,111所以 A 11 AA221121。4. 设 1的秩。(1,0,2,3) , 2(0,1,5,0) , 3(3,2,0,4) , 4(1,1,7,3) 为 F4 中一个向量组,求该向量组解 : 以 1 , 2 , 3 ,4 为列向量构成矩阵3274A,对 A 做初等行变换可化为,于是 1 , 2 , 3 为一个极大线性无关组,并且向量组的秩为 3。5. 设 VP
5、3 ,(1,0,0), 2(1,1,0), 3(1,1,1) ,1(0,0,1), 2(0,1,1), 3求由基1 , 2 ,3 到基3 的过渡矩阵。 观察可得10 123 ,210 23 。30 1023 。所以由基3 的过渡矩阵为01 0100 。6. 求下面的齐次线性方程组的一个基础解系x1x2x5x30 。x4所以一般解为:x3x2x5 x5,其中 x2 , x5 是自由未知数。基础解系为: 1x40( 1,1,0,0,0), 2( 1,0, 1,0,1) 。13、高等代数第三次作业.doc高等代数第三次作业参考答案证明题1. 设 VPn n 是数域 P 上全体 n 阶方阵关于矩阵加法
6、及数与矩阵的数乘构成的线性明: W 是 V 的子空间。证明: 由于 n 阶零矩阵在 W 中, 所以 W 是 V 的非空子集。对A, BW , 有 Tr( AB)Tr( A)Tr(B)0 , 所以 ABW 。对kP,A W , 有 Tr (kA)kTr( A)0 , 所以 kA W 。所以 W 是 V 的子空间。2. 设向量组1 ,2 , 3 线性相关,向量组 2 , 3 ,4 线性无关,证明:(1) )1 可由 2 , 3 线性表示;(2) )4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示。( 1 )由2 , 3 ,线性表示。4 线性无关知,其部分组2 ,3 线性无关;由于1 ,2 , 3 线性相关
7、,而 2( 2 ) 若4 能 由 1 ,盾。2 , 3 线性表示, 由于(1)1 可由2 ,3 线性表示, 则4 能由2 ,3 线性3. 设 A 为 n 阶矩阵,A 的秩R( A)n 。证明存在 n 阶非零矩阵 B 使 AB0。 因为 A 的秩 R( A)n ,所以齐次线性方程组 AX = 0 有非零解。令为一个非零解,做 n 阶矩阵B( ,0,0) ,则 AB0,且 B 为零矩阵。4. 设向量组1 ,2 , 3 线性无关,证明:向量组 12 , 22 3 , 33 1 线性无关。 设 k1 (12 )k2 ( 22 3 )k3 ( 33 1 )0 ,则(k13k3 ) 1(k1k2 ) 2(2k2k3 ) 30由于1 , 2 , 3 线性无关, 所以k1 k1 2k23k30k20k30所以 k10,k20,k30 , 所以12 , 23 1 线性无关。
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