动态规划经典教程Word格式.doc
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动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？
一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：
最优子结构（最优化原理）
无后效性
最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；
什么是无后效性呢？
就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。
也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。
。
当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。
三，动态规划解决问题的一般思路。
拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。
当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：
（1）模型匹配法：
最先考虑的就是这个方法了。
挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。
这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。
（2）三要素法
仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同：
先确定阶段的问题：
数塔问题，和走路问题（详见解题报告）
先确定状态的问题：
大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：
背包问题。
（详见解题报告）
一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。
（3）寻找规律法：
这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。
（4）边界条件法
找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。
这个方法也很起效。
（5）放宽约束和增加约束
这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。
第二节动态规划分类讨论
这里用状态维数对动态规划进行了分类：
1.状态是一维的
1．1下降/非降子序列问题：
问题描述：
{挖掘题目的本质，一但抽象成这样的描述就可以用这个方法解}
在一个无序的序列a1,a2,a3,a4…an里，找到一个最长的序列满足：
ai<
=aj<
=ak…<
=am,且i<
j<
k…<
m.（最长非降子序列）或ai>
aj>
ak…>
am,且i>
j>
k…>
m.（最长下降子序列）。
问题分析：
如果前i-1个数中用到ak（ak>
ai或ak<
=ai）构成了一个的最长的序列加上第I个数ai就是前i个数中用到i的最长的序列了。
那么求用到ak构成的最长的序列有要求前k-1个数中……
从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？
显然对于第i个数时只考虑前i-1个数,显然满足无后效性，可以用动态规划解。
分析到这里动态规划的三要素就不难得出了：
如果按照序列编号划分阶段，设计一个状态opt[i]表示前i个数中用到第i个数所构成的最优解。
那么决策就是在前i-1个状态中找到最大的opt[j]使得aj>
ai（或aj<
=ai），opt[j]+1就是opt[i]的值；
用方程表示为：
{我习惯了这种写法，但不是状态转移方程的标准写法}
opt[i]=max（opt[j]）+1
（0<
=j<
i且aj<
=ai）
{最长非降子序列}
i且aj>
ai）
{最长下降子序列}
实现求解的部分代码：
opt[0]:
=maxsize；
{maxsize为maxlongint或-maxlongint}
for
i:
=1tondo
forj:
=0toi-1do
if（a[j]>
a[i]）and（opt[j]+1>
opt[i]）then
opt[i]:
=opt[j]+1;
ans:
=-maxlongint;
fori:
ifopt[i]>
ansthenans:
=opt[i];
{ans为最终解}
复杂度：
从上面的实现不难看出时间复杂度为O（N2），空间复杂度O（N）；
例题1拦截导弹（missile.pas/c/cpp）来源：
NOIP1999（提高组）第一题
【问题描述】
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：
虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
【输入文件】missile.in
单独一行列出导弹依次飞来的高度。
【输出文件】missile.out
两行，分别是最多能拦截的导弹数，要拦截所有导弹最少要配备的系统数
【输入样例】
38920715530029917015865
【输出样例】
6
2
【问题分析】
有经验的选手不难看出这是一个求最长非升子序列问题，显然标准算法是动态规划。
以导弹依次飞来的顺序为阶段，设计状态opt[i]表示前i个导弹中拦截了导弹i可以拦截最多能拦截到的导弹的个数。
状态转移方程：
（h[i]>
=h[j],0=<
i）
{h[i]存，第i个导弹的高度}
最大的opt[i]就是最终的解。
这只解决了第一问，对于第二问最直观的方法就是求完一次opt[i]后把刚才要打的导弹去掉，在求一次opt[i]直到打完所有的导弹，但这样做就错了。
不难举出反例：
61732
错解：
632/1/7
正解：
61/732
其实认真分析一下题就回发现：
每一个导弹最终的结果都是要被打的，如果它后面有一个比它高的导弹，那打它的这个装置无论如何也不能打那个导弹了，经过这么一分析，这个问题便抽象成在已知序列里找最长上升序列的问题。
求最长上升序列和上面说的求最长非升序列是一样的，这里就不多说了。
时间复杂度为O（N2），空间复杂度为O（N）。
【源代码】
programmissile;
const
fin='
missile.in'
;
fout='
missile.out'
maxn=10000;
var
a,opt:
array[0..maxn]oflongint;
n,anslen,anstime:
longint;
procedure
init;
x:
begin
assign（input,fin）;
reset（input）;
assign（output,fout）;
rewrite（output）;
n:
=0;
repeat
inc（n）;
read（a[n]）;
untilseekeof;
end;
proceduremain;
i,j:
fillchar（opt,sizeof（opt）,0）;
a[0]:
=maxlongint;
=i-1downto0do
if（a[j]>
=a[i]）and（opt[j]+1>
anslen:
anslenthen
if（a[j]<
anstime:
anstimethen
procedureprint;
writeln（anslen）;
writeln（anstime）;
close（input）;
close（output）;
main;
print;
end.
例题二合唱队形（chorus.pas/c/cpp）来源：
NOIP2004（提高组）第一题
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的（N-K）位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：
设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，
则他们的身高满足T1<
...<
Ti>
Ti+1>
…>
TK（1<
=i<
=K）。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
【输入文件】
输入文件chorus.in的第一行是一个整数N（2<
=N<
=100），表示同学的总数。
第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti（130<
=Ti<
=230）是第i位同学的身高（厘米）。
【输出文件】
输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
【样例输入】
8
186186150200160130197220
【样例输出】
4
【数据规模】
对于50％的数据，保证有n<
=20；
对于全部的数据，保证有n<
=100。
出列人数最少，也就是说留的人最多，也就是序列最长。
这样分析就是典型的最长下降子序列问题。
只要枚举每一个人站中间时可以的到的最优解。
显然它就等于，包括他
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