一级倒立摆的建模及控制分析Word格式文档下载.doc

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由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。

二、方法简述

三、模型的建立及分析

3.1微分方程的推导

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。

图1直线一级倒立摆系统

假设M为小车质量；

m为摆杆质量；

b为小车摩擦系数；

l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；

I为摆杆惯量；

F为加在小车上的力；

为小车位置；

为摆杆与垂直向上方向的夹角；

为摆杆与垂直向下方向的夹角。

图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

值得注意的是:

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定,因而矢量方向定义如图2所示,图示方向为矢量正向。

（a）（b）

图2小车和摆杆的受力分析图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（2）

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

（3）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

（4）

力矩平衡方程如下：

（5）

合并这（4）、（5）两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

（6）

假设与1（单位是弧度）相比很小，即《1，则可以进行近似处理：

（7）

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

（8）

3.2状态空间方程

方程组（8）对解代数方程，整理后的系统状态空间方程为：

对于质量均匀分布的摆杆有：

，于是可得：

化简得：

设，则有：

3.3实际系统模型

实际系统模型参数:

M=1.096Kg；

m=0.109Kg；

b=0.1N/m/s；

l=0.25m；

I=0.0034kg·

m·

m；

采样频率T=0.005s。

以小车加速度作为输入的系统状态方程：

3.4状态空间极点的配置

对于直线一级倒立摆的极点配置转化来说:

要按上述系统设计控制器,则要求具有较短，约3s的调整时间和合适的阻尼比ζ=0.5。

要使系统具备能控、能观且易验证。

步骤为：

计算特征值。

根据要求，设调整时间为3s,并留有一定的余量,选择期望的闭环极点:

，其中：

其中是一对具有ζ=0.5，的主导闭环极点。

位于主导闭环极点的左边，其影响较小，因此期望的特征根方程为：

由此得到：

系统的特征方程为：

，因此：

。

系统的反馈增益矩阵为：

确定使状态方程变为可空标准型的变换矩阵T=MW，于是可得：

则有：

，

则反馈增益矩阵为：

控制量为:

3.5MATLAB仿真分析

利用MATLAB软件对直线一级倒立摆进行了仿真，仿真绘制的曲线图，如图3,4所示。

图3小车位置随时间变化图

图4摆角随时间变化图

采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器,可使系统在很小的振动范围内保持平衡,小车振动幅值约为m,摆杆振动幅值约0.05rad,系统稳定时间约3s。

四、参考文献

[1]固高倒立摆系统与实验指导书，2004，固高科技有限公司

[2]胡寿松，自动控制原理（第三版），1994，国防工业出版社

[3]崔怡，Matlab5.3实例详解，2000，航空工业出版社

[4]李新，何传江，矩阵理论及其应用，2008，重庆大学出版社