一级倒立摆的建模及控制分析Word格式文档下载.doc

1、由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。二、方法简述三、 模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。 图1 直线一级倒立摆系统假设 M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I为摆杆惯量；F为加在小车上的力；为小车位置；为摆杆与垂直向上方向的夹角；为摆杆与垂直向下方向的夹角。图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。值得注意的是: 在实

2、际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。 （a） （b） 图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： （3）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （4）力矩平衡方程如下： （5）合并这（4）、（5）两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： （6） 假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理： （7）用u来代表被控对象的输入力F，线性

3、化后两个运动方程如下： （8）3.2 状态空间方程方程组（8）对解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： 对于质量均匀分布的摆杆有：，于是可得： 化简得：设 ，则有： 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M=1.096 Kg；m=0.109 Kg；b=0.1 N/m/s； l=0.25 m；I=0.0034 kgmm；采样频率 T =0.005 s。以小车加速度作为输入的系统状态方程：3.4 状态空间极点的配置对于直线一级倒立摆的极点配置转化来说: 要按上述系统设计控制器, 则要求具有较短，约3 s的调整时间和合适的阻尼比=0.5。要使系统具备能控、能观且易验证。步骤为：计算特征值。根据要

4、求，设调整时间为3 s, 并留有一定的余量, 选择期望的闭环极点:，其中：其中是一对具有=0.5，的主导闭环极点。位于主导闭环极点的左边，其影响较小，因此期望的特征根方程为： 由此得到：系统的特征方程为：，因此：。系统的反馈增益矩阵为：确定使状态方程变为可空标准型的变换矩阵T=MW，于是可得：则有：，则反馈增益矩阵为：控制量为:3.5 MATLAB仿真分析利用MATLAB软件对直线一级倒立摆进行了仿真，仿真绘制的曲线图，如图3,4所示。 图3 小车位置随时间变化图 图4 摆角随时间变化图 采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器, 可使系统在很小的振动范围内保持平衡, 小车振动幅值约为 m, 摆杆振动幅值约0.05 rad,系统稳定时间约 3 s。四、 参考文献1 固高倒立摆系统与实验指导书，2004，固高科技有限公司2 胡寿松，自动控制原理（第三版），1994，国防工业出版社3 崔怡，Matlab5.3实例详解，2000，航空工业出版社4 李新，何传江，矩阵理论及其应用，2008，重庆大学出版社