一维热传导方程的差分格式.wps资料文档下载

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邱文林学号：

20144349学生姓名4：

高俊学号：

20144305学生姓名5：

赵禹恒学号：

20144359学生姓名6：

刘志刚学号：

20144346学院：

理学院专业：

14级信息与计算科学指导教师：

陈红斌2017年6月25日偏微分方程数值解课程论文-2-一维热传导方程的差分格式论文一、微分方程数值解课程论文的格式1）引言：

介绍研究问题的意义和现状2）格式：

给出数值格式3）截断误差：

给出数值格式的截断误差4）数值例子：

按所给数值格式给出数值例子5）参考文献：

论文所涉及的文献和教材二、微分方程数值解课程论文的评分标准1）文献综述：

10分；

2）课题研究方案可行性：

3）数值格式：

20分；

4）数值格式的算法、流程图：

5）数值格式的程序：

6）论文撰写的条理性和完整性：

7）论文工作量的大小及课题的难度：

8）课程设计态度：

9）独立性和创新性：

10分。

评阅人：

一维热传导方程的差分格式-3-一维热传导方程的差分格式一维热传导方程的差分格式1引言1引言考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet初边值问题22（,）,uuafxttx,cxd0,tT（1.1）（,0）（）,uxx,cxd（1.2）（,）（）,uctt（,）（）,udtt0tT（1.3）的有限差分方法,其中a为正常数,（,）,（）,（）,（）fxtxtt为已知常数,（）（0）,c（）（0）.d称（1.2）为初值条件,（1.3）为边值条件.本文将给出（1.1）（1.3）的向前Euler格式,向后Euler格式和CrankNicolson格式,并给出其截断误差和数值例子.经对比发现,CrankNicolson格式误差最小,向前Euler格式次之,向后Euler格式误差最大.2差分格式的建立2差分格式的建立2.1向前2.1向前Euler格式格式将区间,cd作M等分,将0,T作N等分,并记（）/hdcM,/TN,jxcjh,0jM,ktk,0kN.分别称h和为空间步长和时间步长.用两组平行直线jxx,0jM,ktt,0kN将分割成矩形网格.记|0hjxjM,|0ktkN,hh.称,jkxt为结点1.定义h上的网格函数|0,0kjUjMkN,其中,kjjkUuxt.在结点,jkxt处考虑方程（1.1）,有一维热传导方程的差分格式-4-22,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM11kN.（2.1）将1,jkuxt以结点,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有221,（）.2!

jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto整理有212,（）.2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott（2.2）再将1,jkxt,1,jkxt分别以结点,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,=,（2!

3!

jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（-）4（4）4,（）4!

jkuxthoh,231,=,2!

jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（4）44,（）.4!

jkuxthoh由上述两式可得242112224,2,=（）12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.（2.3）将（2.2）,（2.3）两式代入（2.1）中,得1112,-u,2,jkjkjkjkjkkjkjuxtxtuxtuxtuxtafxtRh.（2.4）其中4222242,（）122jkjkkjuxtxtahRohxt为方程（2.1）的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM01.kN（2.5）结合初边值条件,可得如下差分格式一维热传导方程的差分格式-5-11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM11,kN（2.6）0（）,jjux0,jM（2.7）0（）,kjut（）,kMkut1.kN（2.8）2.2向后2.2向后Euler差分格式差分格式在结点1,jkxt处考虑方程（1.1）,有21112,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM1.kN（2.9）将,jkuxt以1,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21211,（）,（）（）.2!

jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto将上式整理得21112,（）.2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott（2.10）再将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有23111111,=,（2!

jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（-）4（4）14,（）,4!

jkuxthoh23111111,=,2!

jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（4）414,（）.4!

jkuxthoh由上述两式可得24211111112224,2,=（）12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.（2.11）将（2.10）,（2.11）两式代入（2.9）中,得一维热传导方程的差分格式-6-1111112,2,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah1,.kjkjfxtR（2.12）其中24211224,（）212ikikkjxtuxtahRohtx为方程（2.9）的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1.kN（2.13）结合初边值条件,可得如下差分格式111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1,kN（2.14）0（）,jjux0,jM（2.15）0（）,kkut（）,kMkut1.kN（2.16）2.32.3CrankNicolson差分格式差分格式在结点1/2,jkxt处考虑方程（1.1）,有21/21/21/22,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM01.kN（2.17）将1,jkuxt,jkuxt以1/2,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21/211/21/2,22!

2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxt31/23,.3!

2jkuxto21/21/21/2,22!

2jkuxto将上述两式整理得一维热传导方程的差分格式-7-3211/21/233,（）.24jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott（2.18）再将1,jkuxt,1,jkuxt分别以,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,（,）,=,（2!

jkuxthoh,23（4）441,=,（）.2!

4!

jkjkjkjkjkjkuxthuxthuxthuxtuxtuxthoh由上述两式得242112224,2,=（）.12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx（2.19）同理,将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x泰勒级数展开,整理得24211111112224,2,=（）.12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx（2.20）此时，分别将1,jkuxt,jkuxt以1/2,jkuxt为中心关于t泰勒级数展开，有2234211/21/21/2222222,1=,22!

2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxtxt2231/21/2222,=2jkjkjkuxtuxtuxtxxxt421/2222,1.2!

2jkuxtoxt利用上述两式得222421/211/2222222,11.222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxxt（2.21）利用（2.19）,（2.20）两式,整理有22111222,2,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtxxh一维热传导方程的差分格式-8-421111124,2,12jkjkjkjkuxtuxtuxtxthhx42124,.12jkxthohx（2.22）结合（2.21）,（2.22）两式,整理得21/21122,2,2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxh42111111/2222,2,1222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxthxt44221244,1.21212jkjkxtxthhohxx（2.23）将（2.18）,（2.23）式代入（2.17）得1112,2,2jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah111112,2,.2jkjkjkkjkjuxtuxtuxtafxtRh（2.24）其中4443222211/21/244223,21212224jkjkjkjkkjxtxtuxtuxtahhRxxxtt32（）oh为方程（2.17）的截断误差.舍去截断误差,用kju代替（,）jkuxt,可得如下差分方程111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM01.kN（2.24）结合初边值条件,可得如下差分格式111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM01,kN（2.25）一维热传导方程的差分格式-9-0（）,jjux0,jM（2.26）0（）,kkut（）,kMkut1.kN（2.27）3差分格式的求解3差分格式的求解3.1向前3.1向前Euler格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式（2.6）（2.8）中（2.6）可改写为111（12）kkkkkjjjjjurururuf,11jM,01kN.（3.1）将（3.1）写成如下形式11kkkUAUFrF.其中+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,121,TkkkkMFfff,10

（1）*1,0,0,0,TkkMMFuu,

（1）*

（1）121212MMrrrrrArrrr.3.2向后3.2向后Euler格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式（2.14）（2.16）中（2.14）可改写为111111（12）kkkkkjjjjjurururuf,11jM,1kN.（3.2）将（3.2）写成如下形式111kkkAUUFrF.其中一维热传导方程的差分格式-10-+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,1111121,TkkkkMFfff,1110

（1）*1,0,0,0,TkkMMFuu,

（1）*

（1）（12）（12）（12）MMrrrrrArrrr.3.33.3CrankNicolson格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式（2.25）（2.27）中（2.25）可改写为1111/21111-/2（