一维热传导方程的差分格式.wps资料文档下载

1、邱文林 学 号：20144349 学生姓名 4：高俊 学 号：20144305 学生姓名 5：赵禹恒 学 号：20144359 学生姓名 6：刘志刚 学 号：20144346 学院：理学院 专 业：14 级信息与计算科学 指导教师：陈红斌 2017 年 6 月 25 日偏微分方程数值解课程论文-2-一维热传导方程的差分格式论文 一、微分方程数值解课程论文的格式1）引言：介绍研究问题的意义和现状2）格式：给出数值格式3）截断误差：给出数值格式的截断误差4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子5）参考文献：论文所涉及的文献和教材二、微分方程数值解课程论文的评分标准1）文献综述：10 分；2）课题研

2、究方案可行性：3）数值格式：20 分；4）数值格式的算法、流程图：5）数值格式的程序：6）论文撰写的条理性和完整性：7）论文工作量的大小及课题的难度：8）课程设计态度：9）独立性和创新性：10 分。评阅人：一维热传导方程的差分格式-3-一维热传导方程的差分格式一维热传导方程的差分格式1 引言1 引言考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet初边值问题22（,）,uuaf x ttx ,cxd 0,tT （1.1）（,0）（）,u xx ,cxd （1.2）（,）（）,u c tt （,）（）,u d tt 0tT （1.3）的有限差分方法,其中a为正常数,（,）,（）,（）,（）f x t

3、xtt为已知常数,（）（0）,c（）（0）.d 称（1.2）为初值条件,（1.3）为边值条件.本文将给出（1.1）（1.3）的向前Euler格式,向后Euler格式和CrankNicolson格式,并给出其截断误差和数值例子.经对比发现,CrankNicolson格式误差最小,向前Euler格式次之,向后Euler格式误差最大.2 差分格式的建立2 差分格式的建立2.1 向前2.1 向前Euler格式格式将区间,c d作M等分,将0,T作N等分,并记（）/hdcM,/TN,jxcjh,0jM,ktk,0kN.分别称h和为空间步长和时间步长.用两组平行直线jxx,0jM,ktt,0kN将分割成矩

4、形网格.记|0hjxjM,|0ktkN,hh .称,jkx t为结点1.定义h上的网格函数|0,0kjUjMkN,其中,kjjkUu x t.在结点,jkx t处考虑方程（1.1）,有一维热传导方程的差分格式-4-22,jkjkjku x tu x taf x ttx 11,jM 11kN.（2.1）将1,jku x t以结点,jkx t为中心关于t运用泰勒级数展开,有221,（）.2!jkjkjkjkux tu x tu x tux to整理有212,（）.2jkjkjkjku x tu x tu x tu x tott （2.2）再将1,jkxt,1,jkxt分别以结点,jkx t为中心关

5、于x运用泰勒级数展开,有231,=,（2!3!jkjkjkjkjkux thux thu xtu x tux th（-）4（4）4,（）4!jkux tho h,231,=,2!jkjkjkjkjkux thux thu xtu x tux th（4）44,（）.4!jkux tho h由上述两式可得242112224,2,=（）12jkjkjkjkjku xtu x tu xtu x tx tho hhxx.（2.3）将（2.2）,（2.3）两式代入（2.1）中,得1112,-u,2,jkjkjkjkjkkjkju x tx tu xtu x tu xtaf x tRh.（2.4）其中422

6、2242,（）122jkjkkju x tx tahRohxt 为方程（2.1）的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jku x t,得到如下差分方程11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh 11,jM 01.kN （2.5）结合初边值条件,可得如下差分格式一维热传导方程的差分格式-5-11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh 11,jM 11,kN （2.6）0（）,jjux 0,jM （2.7）0（）,kjut （）,kMkut 1.kN （2.8）2.2 向后2.2 向后Euler差分格式差分格式在结点1,jkx t处考虑方程（1.1）,有21112,jkjkj

7、ku x tu x taf x ttx 11,jM 1.kN （2.9）将,jku x t以1,jkx t为中心关于t运用泰勒级数展开,有21211,（）,（）（）.2!jkjkjkjkux tu x tu x tux to将上式整理得21112,（）.2jkjkjkjku x tu x tu x tu x tott （2.10）再将11,jku xt,11,jku xt分别以1,jkx t为中心关于x运用泰勒级数展开,有23111111,=,（2!jkjkjkjkjkux thux thu xtu x tux th（-）4（4）14,（）,4!jkux tho h 23111111,=,2!

8、jkjkjkjkjkux thux thu xtu x tux th（4）414,（）.4!jkux tho h由上述两式可得24211111112224,2,=（）12jkjkjkjkjku xtu x tu xtu x tx tho hhxx.（2.11）将（2.10）,（2.11）两式代入（2.9）中,得 一维热传导方程的差分格式-6-1111112,2,jkjkjkjkjku x tu x tu xtu x tu xtah1,.kjkjf x tR （2.12）其中24211224,（）212ikikkjx tu x tahRohtx 为方程（2.9）的截断误差.舍去截断误差,用kju

9、代替,jku x t,得到如下差分方程111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh 11,jM 1.kN （2.13）结合初边值条件,可得如下差分格式111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh 11,jM 1,kN（2.14）0（）,jjux 0,jM （2.15）0（）,kkut （）,kMkut 1.kN （2.16）2.3 2.3 CrankNicolson差分格式差分格式在结点1/2,jkx t处考虑方程（1.1）,有21/21/21/22,jkjkjku x tu x taf x ttx 11,jM 01.kN（2.17）将1,jku x t,jku

10、 x t以1/2,jkx t为中心关于t运用泰勒级数展开,有21/211/21/2,22!2jkjkjkjkux tu x tu x tux t31/23,.3!2jkux to21/21/21/2,22!2jkux to将上述两式整理得一维热传导方程的差分格式-7-3211/21/233,（）.24jkjkjkjku x tu x tu x tu x tott （2.18）再将1,jku xt,1,jku xt分别以,jkx t为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,（,）,=,（2!jkux tho h,23（4）441,=,（）.2!4!jkjkjkjkjkjkux thux thux

11、thu xtu x tux tho h由上述两式得242112224,2,=（）.12jkjkjkjkjku xtu x tu xtu x tx tho hhxx （2.19）同理,将11,jku xt,11,jku xt分别以1,jkx t为中心关于x泰勒级数展开,整理得24211111112224,2,=（）.12jkjkjkjkjku xtu x tu xtu x tx tho hhxx （2.20）此时，分别将1,jku x t,jku x t以1/2,jku x t为中心关于t泰勒级数展开，有2234211/21/21/2222222,1=,22!2jkjkjkjku x tu x

12、tu x tu x toxxxtxt 2231/21/2222,=2jkjkjku x tu x tu x txxxt421/2222,1.2!2jku x toxt利用上述两式得222421/211/2222222,11.222jkjkjkjku x tu x tu x tu x toxxxxt （2.21）利用（2.19）,（2.20）两式,整理有22111222,2,jkjkjkjkjku x tu x tu xtu x tu xtxxh一维热传导方程的差分格式-8-421111124,2,12jkjkjkjku xtu x tu xtx thhx42124,.12jkx tho hx

13、（2.22）结合（2.21）,（2.22）两式,整理得21/21122,2,2jkjkjkjku x tu xtu x tu xtxh42111111/2222,2,1222jkjkjkjku xtu x tu xtu x thxt44221244,1.2 1212jkjkx tx thho hxx （2.23）将（2.18）,（2.23）式代入（2.17）得 1112,2,2jkjkjkjkjku x tu x tu xtu x tu xtah111112,2,.2jkjkjkkjkju xtu x tu xtaf x tRh （2.24）其中4443222211/21/244223,2 1

14、212224jkjkjkjkkjx tx tu x tu x ta hhRxxxtt 32（）oh为方程（2.17）的截断误差.舍去截断误差,用kju代替（,）jku x t,可得如下差分方程111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM 01.kN （2.24）结合初边值条件,可得如下差分格式111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM 01,kN （2.25）一维热传导方程的差分格式-9-0（）,jjux 0,jM （2.26）0（）,kkut （）,kMkut 1

15、.kN （2.27）3 差分格式的求解3 差分格式的求解3.1 向前3.1 向前Euler格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式（2.6）（2.8）中（2.6）可改写为111（1 2）kkkkkjjjjjur ur ur uf ,11jM,01kN.（3.1）将（3.1）写成如下形式11kkkUA UFr F .其中+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,121,TkkkkMFfff,10（1）*1,0,0,0,TkkMMFuu,（1）*（1）1 21 21 2MMrrrrrArrrr .3.2 向后3.2 向后Euler格式格式记2arh,称r为步长比.

16、差分格式（2.14）（2.16）中（2.14）可改写为111111（12）kkkkkjjjjjur ur ur uf ,11jM,1kN.（3.2）将（3.2）写成如下形式111kkkA UUFr F .其中一维热传导方程的差分格式-10-+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,1111121,TkkkkMFfff,1110（1）*1,0,0,0,TkkMMFuu,（1）*（1）（12）（12）（12）MMrrrrrArrrr.3.3 3.3 CrankNicolson格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式（2.25）（2.27）中（2.25）可改写为1111/21111-/2（