激光原理全套课件下PPT资料.ppt

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两腔镜上两点之间距离为：

将其作级数展开：

或者,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,当满足条件时，积分核可以写成：

则衍射积分公式改写为：

对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：

式

（1）表示一个平平腔，其反射镜在x方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的自再现模；

式

（2）表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。

11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,满足上述方程的函数E（x）和E（y）可以有很多个，用Em（x）和En（Y）分别表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为m、n，则上述方程可以表示为：

（1）式在数学上称为本征方程，只有在m和n为一系列分立的值，对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此m和n又被称为方程的本征值；

对不同的m和n，能够使方程成立的解Em（x）和En（y）被称为相应的本征函数；

本征函数决定了镜面上的场分布；

本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；

此时的自再现模为：

复常数为：

11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,由此可得到数值计算中的迭代公式为：

要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1（x）=1，由于argu1（x）=0，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。

11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。

由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归一化。

将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；

此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；

此时求出的与坐标无关的常数因子是本征值；

11.2平行平面腔自再现模式的特征,Fox-Li对条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。

1、镜面上的振幅分布右图是300次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：

镜面中心处振幅最大；

从中心到边缘振幅逐渐下降；

振幅分布具有藕对称性；

具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。

在条状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。

菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；

11.2平行平面腔自再现模式的特征,在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。

在平平腔迭代中如果选取初值条件为：

可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。

腔中还存在着其他的高阶模式；

11.2平行平面腔自再现模式的特征,2、镜面上的相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知TEM0模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；

只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；

右下图是TEM1模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。

11.2平行平面腔自再现模式的特征,3、单程相移与谐振频率A、单程总相移计算方法：

在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；

表达式：

其中kL为几何相移，为附加相移，与N有关，不同的横模有不同的附加相移；

11.2平行平面腔自再现模式的特征,右图为不同横模的单程相移随N变化的曲线，从曲线中可以得出结论：

N相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；

N较大时，在对数坐标中附加相移随N的变化曲线基本为直线；

11.2平行平面腔自再现模式的特征,B、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：

以mnq表示TEMmn模的谐振频率，则：

与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。

11.2平行平面腔自再现模式的特征,4、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随N变化的曲线。

基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；

对确定的横模，单程损耗由N单值决定，N越大，损耗越小；

低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；

激光原理与技术原理部分,第12讲方形镜共焦腔自再现模式,12.1衍射积分方程及其解析解,如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：

则两点之间的距离为：

从平平腔推导可知：

由球面镜几何关系：

12.1衍射积分方程及其解析解,其自再现模mn满足的积分方程为：

作如下变换：

12.1衍射积分方程及其解析解,通过分离变量求得：

寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。

该方程可以求出解析解：

12.1衍射积分方程及其解析解,将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：

长椭球函数满足关系：

该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；

（1）式同

（2）式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；

以TEMmn表示共焦腔自再现模；

12.2镜面上场的振幅和相位分布,A、厄米-高斯近似在时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：

其中Cm、Cn为常系数，Hm（x）为m阶厄米多项式。

厄米多项式的最初几阶为：

12.2镜面上场的振幅和相位分布,当c时，厄米-高斯函数是分离变量后的本征方程的本征函数；

c为有限值时，只要满足条件c=2N1，厄米-高斯函数仍能非常好的满足本征方程；

若不满足该条件，在镜面的中心附近，仍然能够用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；

将长椭球函数的厄米-高斯近似带入本征方程的本征解，并且用x，y替代X，Y可以得到自再现模的表达式：

其中Cmn为常系数。

12.2镜面上场的振幅和相位分布,B、厄米-高斯近似下的基模当m=n=0时，可以得到TEM00模的分布函数：

基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：

处，振幅降为中心处振幅的1/e。

其中L为共焦腔长度，为激光波长，通常用半径为r的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。

光场并不局限于0S内，而是扩展到无穷远处，只是当r0S时，光强已经很微弱。

共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长L，或共焦腔反射镜焦距f=L/2有关，但只在厄米-高斯函数近似下才成立。

12.2镜面上场的振幅和相位分布,例使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，输出波长为10.6um，则0S约为1.84mm；

使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，输出波长为0.6328um，则0S约为0.25mm；

说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；

除了1/e半径0S，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的1/2处（半功率点）的光斑尺寸为0S。

12.2镜面上场的振幅和相位分布,C、高阶横模当m、n取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：

TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。

12.2镜面上场的振幅和相位分布,12.2镜面上场的振幅和相位分布,D、相位分布镜面上等相位面由mn（x,y）的幅角决定。

由于长椭球函数为实函数，则mn（x,y）也是实函数，其幅角为0，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。

共焦腔与平平腔的相位分布不同；

12.3单程损耗,共焦腔自再现模的单程损耗：

通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。

均匀平面波在镜面边缘的夫琅和费衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；

基模的损耗是所有模式的损耗中最少的；

菲涅耳数越大，衍射损耗越小；

12.3单程损耗,共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，TEM00模的损耗可近似按下述公式计算：

He-Ne激光器采用共焦腔，L=30cm，放电管半径a=0.1cm，输出波长0.6328um，对应菲涅耳数为5.627，可以求出而如果采用平平腔，。

以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。

当N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。

12.4单程相移和谐振频率,单程相移由本征值决定：

其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：

该相移与N无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；

由谐振腔的谐振条件可得：

则谐振频率为：

12.4单程相移和谐振频率,纵模间隔：

当m、n不变时，由q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：

当q、n不变时，由m变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：

当q、m不变时，由n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：

模式简并：

不同的q、m、n所决定的横模处于同一个谐振频率mnq，即使得q+（m+n+1）/2相同的各种m、n、q搭配。

12.5方形镜共焦腔的行波场,当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：

其中：

Emn（x,y,z）表示TEMmn模在腔内任一点的场强，E0为常数，Amn为归一化常数；

只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。

12.5方形镜共焦腔的行波场,1、振幅分布共焦腔行波场振幅为：

对基模：

振幅1/e处的基模光斑半径为：

该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同：

基模光斑的大小随z的变化规律：

即z=0处为束腰位置，0为束腰半径。

12.5方形镜共焦腔的行波场,2、模体积某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；

模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供的增益就越大，可能输出的功率就越大；

对基模，其模体积为：

对高阶模，其模体积为：

12.5方形镜共焦腔的行波场,3、等相位面的分布腔内的相位分布由（x,y,z）描述，与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为（0,0,z），忽略由于z的微小变化引起的相位变化，在强的轴线附近有：

上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于z=z0处，而抛物面的焦距为：

在r2f的范围内，即腔轴线附近，可以将其近似为球面波，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为：

注意与前面得到的高斯光束等相位面半径公式的比较,12.5方形镜共焦腔的行波场,4、远场发散角远场发散