七年级数学下册531等腰三角性的性质练习新版北师大版.docx

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七年级数学下册531等腰三角性的性质练习新版北师大版

2019-2020年七年级数学下册5.3.1等腰三角性的性质练习新版北师大版

一、选择——基础知识运用

1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°

2．若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．9B．12C．9或12D．10

3．有下列命题说法：

①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（　　）

A．55°B．45°C．35°D．65°

5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）

A．△ABD≌△EBCB．△NBC≌△MBDC．DM=DCD．∠ABD=∠EBC

二、解答——知识提高运用

6．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O

（1）连接OA，求∠OAC的度数；

（2）求：

∠BOC。

7．如图，在等腰三角形ABC中，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的高线，DA、BE的延长线交于点P．若∠BAC=110°，求∠P的度数。

8．如图，已知△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为多少？

9．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。

10．已知在△ABC中，AB=AC。

（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；

（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）。

11．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？

参考答案

一、选择——基础知识运用

1．【答案】D

【解析】∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，

∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，

∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，

∴∠B=25°，

∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，

∴∠BDE=∠BED=（180°-25°）=77.5°，

∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°，

故选D。

2．【答案】B

【解析】①当5为底时，其它两边都为2，

∵2+2＜5，

∴不能构成三角形，故舍去，

当5为腰时，

其它两边为2和5，

5、5、2可以构成三角形，

周长为12。

故选B。

3．【答案】B

【解析】①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；

②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；

③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；

④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；

⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度。

所以正确的是①，③，⑤三个。

故选B。

4．【答案】A

【解析】∵∠1=125°，

∴∠ADE=180°-125°=55°，

∵DE∥BC，AB=AC，

∴AD=AE，∠C=∠AED，

∴∠AED=∠ADE=55°，

又∵∠C=∠AED，

∴∠C=55°。

故选：

A。

5．【答案】C

【解析】A、可以利用SAS验证，正确；

B、可以利用AAS验证，正确；

C、可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°

∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；

D、可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确。

所以错误的是第三个。

故选C。

二、解答——知识提高运用

6．【答案】

（1）连接AO，

∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，

∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，

∵∠A=80°，

∴∠OAC=40°

（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠A）

=90°+∠A。

∴当∠A=80°时，

∠BOC＝180°−（∠B+∠C）＝90°+∠A=130°。

7．【答案】∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=110°，

∴∠DAB=∠DAC=55°，

∵∠DAC=∠EAP（对顶角相等），

∴∠EAP=∠DAC=55°，

又∵BE是腰AC上的高，

∴∠P=90°-∠EAP=90°-55°=35°。

故∠P的度数是35°。

8．【答案】根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，

（1）若AB＞BC，则AB-BC=6，

又因为2AB+BC=24，

联立方程组并求解得：

AB=10，BC=4，

10、10、4三边能够组成三角形；

（2）若AB＜BC，则BC-AB=6，

又因为2AB+BC=24，

联立方程组并求解得：

AB=6，BC=12，

6、6、12三边不能够组成三角形；

因此三角形的各边长为10、10、4。

9．【答案】∠α=∠B，理由为：

证明：

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角），

在△BDF和△CED中，

BD＝CE

∠B＝∠C

BF＝CD

∴△BDF≌△CED（SAS），

∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），

又∵∠FDC=∠B+∠BFD（外角性质），

∴∠α=∠B（等式性质）。

10．【答案】

（1）设三角形的腰AB=AC=x，

若AB+AD=24cm，

则：

x+x=24

∴x=16

三角形的周长为24+30=54cm

所以三边长分别为16，16，22；

若AB+AD=30cm，

则：

x+x=30

∴x=20

∵三角形的周长为24+30=54cm

∴三边长分别为20，20，14；

因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14。

（2）∵AC=AD+CD，AB=AC，

∴2AC=AB+AD+CD＞BD+DC，

∴AC＞（BD+DC）。

11．【答案】△BEF为正三角形

证明：

∵AE+CF=a，AE+ED=a，

∴DE=CF，

在△BDE和△BCF中，

BD＝BC

∠BCF＝∠BDE＝60°

DE＝CF，

∴△BDE≌△BCF，

∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，

又∵∠CBF+∠FBD=60°，

∴∠FBD+∠DBE=60°，

∴△BEF为等边三角形。

2019-2020年七年级数学下册5.3.2线段垂直平分线教案新版北师大版

【教学目标】

1.知识与技能

（1）探索线段垂直平分线的性质，并利用性质解决问题。

2.过程与方法

在探索性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

3.情感态度和价值观

学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。

【教学重点】

探索线段垂直平分线的性质。

【教学难点】

利用质解决问题。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、情景导入

【过渡】在上节课的学习中，我们学习了等腰三角形的性质，主要有“等边对等角”以及“三线合一”，现在，我们通过一道题来回忆一下等腰三角形的性质吧。

根据等腰三角形“三线合一”性质,在△ABC中，AB=AC时，

（1）∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____。

（2）∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____。

（3）∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____。

【过渡】这个问题简单的利用了等腰三角形的性质，在生活中，我们除了等腰三角形这个简单的轴对称图形之外，还会遇到一种简单的轴对称图形：

线段。

那么线段到底有哪些性质呢？

二、新课教学

1．线段垂直平分线的性质

【过渡】大家都知道，线段是我们常见的图形。

经历了上节课的探索，我们这节课来探索一下线段的性质。

【过渡】现在，大家动手在纸上画一条线段，将其标为AB，然后将其对折，使AB两点重合。

接下来，我们将纸展开。

将折痕用笔画出，并将其与线段AB的交点标为O，你能发现什么？

（学生回答）

【过渡】通过轴对称的定义，我们知道，线段是轴对称图形。

现在，我希望你们回答这样一个问题：

AO与BO是什么样的关系呢？

（学生回答）

【过渡】我们知道，折痕所在的这条直线就是线段AB的对称轴，对折之后呢，AO与BO是重合的，所以，AO=BO。

因此，线段的对称轴将线段平分，并且垂直于对称轴。

垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。

【过渡】在数学里，我们将这样的对称轴称为垂直平分线。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线的垂直平分线，简称中垂线。

【过渡】现在呢，我们再继续来看下一个问题。

大家在刚刚的对称轴上随意选择一点C，连接AC与BC，判断一下AC与BC的关系》

（学生回答）

【过渡】我们猜想AC=BC，你能证明这个结论吗？

结合三角形全等的知识试着证明一下吧。

【过渡】通过刚刚的学习，我们知道，AO=BO，同时还要垂直。

因此呢，根据“边角边”的判定，我们能得到三角形全等，进而得到AC=BC。

课件展示证明过程。

【过渡】再随意找一个点，你还能得到同样的结论吗？

（学生动手回答）

【过渡】由此，我们得到了线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

【过渡】既然学习了这个性质，我们就来试着运用它来解决问题吧。

例：

如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则BC与PC、AP的关系如何？

【过渡】解决这个问题，我们先看MN是AB的垂直平分线，得到PA=PB，由于BC=BP+PC，因此呢，BC=PC+AP，问题就得到了解决。

【过渡】刚刚的例题是简单的利用线段垂直平分线的性质，现在呢，我们看一下一个实际的问题。

例：

如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在什么地方？

【过渡】对于这个问题，距离相等，我们首先要考虑到的就是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

因此，我们分别作AC和BC的垂直平分线，两条平分线的交点就是我们需要的答案。

【过渡】通过这个问题，我们知道三角形的三条边对应的垂直平分线相交于一点。

【过渡】在了解了线段垂直平分线的性质之后，我们来考虑如何画出线段的垂直平分线。

讲解例1。

【过渡】现在，大家一起来看一下一个问题，

如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。

求证：

（1）PA=PB=PC。

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？

由此你能得出什么结论？

【过渡】这个问题的证明过程