通用版高考数学一轮复习11集合讲义文.docx

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通用版高考数学一轮复习11集合讲义文

第一节集合

一、基础知识批注——理解深一点

1．集合的有关概念

（1）集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．

（2）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（3）元素与集合的两种关系：

属于，记为；不属于，记为.

（4）五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）．

（2）真子集：

如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.

AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.

（3）集合相等：

如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

两集合相等：

A＝B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（4）空集：

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

0，{0}，∅，{∅}之间的关系：

∅≠{∅}，

∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合间的基本运算

（1）交集：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（2）并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）补集：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

二、常用结论汇总——规律多一点

（1）子集的性质：

A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

（2）交集的性质：

A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（3）并集的性质：

A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.

（4）补集的性质：

A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

（5）含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．

（6）等价关系：

A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（2）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　　）

（3）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　　）

（4）任何一个集合都至少有两个子集．（　　）

（5）若AB，则A⊆B且A≠B.（　　）

（6）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　　）

（7）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√　（6）√　（7）×

（二）选一选

1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝（　　）

A．[0,3]　　　　　　　　B．[1,2]

C．[0,3）D．[1,3]

解析：

选C　因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.

2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

解析：

选D　因为2不是自然数，所以a∉A.

3．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8

C．5D．4

解析：

选A　法一：

将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．故选A.

法二：

根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

（三）填一填

4．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝________.

解析：

由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2

答案：

{x|－2

5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________.

解析：

∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴∁UA＝{－1}．

答案：

{－1}

[典例]　

（1）（2017·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．2

C．1D．0

（2）已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为（　　）

A．1B．0

C．－1D．±1

[解析]　

（1）因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

（2）由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝（－1）2019＋02019＝－1.

[答案]　

（1）B　

（2）C

[解题技法]　与集合中的元素有关的解题策略

（1）确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

[题组训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－（－1）＝2∈A；当－2∈B时，1－（－2）＝3∈A；当－3∈B时，1－（－3）＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.B.

C．0D．0或

解析：

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，

所以a的值为0或.

3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2

解析：

因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5

答案：

（5，6］

[典例]　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．B⊆A　　　　　　　　　B．A＝B

C．ABD．BA

（2）（2019·湖北八校联考）已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．8

（3）已知集合A＝{x|－1

[解析]　

（1）由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

（2）∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0

（3）当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0

综上所述，m的取值范围为（－∞，1]．

[答案]　

（1）C　

（2）C　（3）（－∞，1]

[变透练清]

1.若本例

（2）中A不变，C＝{x|0

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.若本例（3）中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．

解析：

若A⊆B，由得m≥3，

∴m的取值范围为[3，＋∞）．

答案：

[3，＋∞）

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）．

答案：

[－2,2）

[解题技法]

判定集合间基本关系的两种方法和一个关键

两种

方法

①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；

②用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系

一个

关键

关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系

考法

（一）　集合的运算

[典例]　

（1）（2018·天津高考）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{－1,1}　　　　　　　　B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{2,3,4}

（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{x|－2≤x<4}

B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}

D．{x|－1≤x≤2}

[解析]　

（1）∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，

∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．

（2）依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，

因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁RA）∩B＝{x|－1≤x≤2}．

[答案]　

（1）C　

（2）D

[解题技法]　集合基本运算的方法技巧

（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

（3）集合的交、并、补运算口诀如下：

交集元素仔细找，属于A且属于B；

并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；

全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集．

考法

（二）　根据集合运算结果求参数

[典例]　

（1）已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－4,3）B．[－3,4]

C．（－3,4）D．（－