届高考数学理一轮复习讲义11 集合及其运算.docx

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届高考数学理一轮复习讲义11集合及其运算

§1.1　集合的概念及运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（Venn）图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋（或N*）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中任意一个元素都是集合B的元素（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A

AB（或BA）

集合相等

如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

概念方法微思考

1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．

提示　2n,2n－1.

2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？

提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

答案　D

3．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．（2018·湖南长郡中学月考）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（　　）

A．0∉AB．1⊆A

C.

⊆AD．3∈A

答案　D

解析　集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，∴0∈A,1∈A，

∉A,3∈A，故选D.

5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2

答案　{x|x≤1或x>2}

解析　由已知可得集合A＝{x|1

又因为B＝{x|2

所以（∁RA）∪B＝{x|x≤1或x>2}．

6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

答案　0或1或－1

解析　易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，

∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.

题型一　集合的含义

1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{（x，y）|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．6D．9

答案　C

解析　当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2.

故集合B＝{（0,0），（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2）}，即集合B中有6个元素．

2．已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　C

解析　因为

∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.

3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　－

解析　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，

则m＝1或m＝－

，

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．

题型二　集合间的基本关系

例1

（1）集合M＝

，N＝

，则两集合M，N的关系为（　　）

A．M∩N＝∅B．M＝N

C．M⊆ND．N⊆M

答案　D

解析　由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k（k∈Z），则x＝k＋1（k∈Z），当n为奇数时，设n＝2k＋1（k∈Z），则x＝k＋1＋

（k∈Z），∴N⊆M，故选D.

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练1

（1）已知集合A＝{y|0≤y

答案　8

解析　B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，当a分别取1,2,3时，所得集合A分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足AB，当a＝4时，A＝{0,1,2,3}，不满足AB，同理，当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．

（2）已知集合A＝{x|－1

答案　（－∞，1]

解析　当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1

所以在数轴上标出两集合，如图，

所以

所以0

综上所述，m的取值范围为（－∞，1]．

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例2

（1）（2018·全国Ⅰ）已知集合A＝

，则∁RA等于（　　）

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　∵x2－x－2>0，∴（x－2）（x＋1）>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．

故选B.

（2）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

A．A∩B＝∅B．A⊆B

C．B⊆AD．A∪B＝R

答案　D

解析　∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.

命题点2　利用集合的运算求参数

例3　

（1）（2018·锦州模拟）已知集合A＝{x|x

A．a<1B．a≤1C．a>2D．a≥2

答案　D

解析　集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1

由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．

可知a≥2.

（2）设集合A＝{－1,0,1}，B＝

，A∩B＝{0}，则实数a的值为________．

答案　1

解析　0∈

，由a＋

≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.经检验，当a＝1时满足题意．

（3）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A∩B＝B，所以B⊆A，

因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，

由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

思维升华

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练2

（1）（2018·葫芦岛检测）已知集合A＝{x|－2

A．（2,4）B．（－2,4）

C．（－2,2）D．（－2,2]

答案　D

解析　由题意得B＝{x|y＝lg（x－2）}＝（2，＋∞），

∴∁RB＝（－∞，2]，∴A∩（∁RB）＝（－2,2]．

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，

即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．

又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

例4

（1）（2018·沈阳模拟）已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：

A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（　　）

A．15B．16C．20D．21

答案　D

解析　由x2－2x－3≤0，得（x＋1）（x－3）≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：

0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3（舍去），2＋3＝5,3＋1＝4（舍去），3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.

（2）设数集M＝

，N＝

，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．

答案　

解析　在数轴上表示出集合M与N（图略），

可知当m＝0且n＝1或n－

＝0且m＋

＝1时，M∩N的“长度”最小．

当m＝0且n＝1时，M∩N＝

，

长度为

－

＝

；

当n＝

且m＝

时，M∩N＝

，

长度为

－

＝

.

综上，M∩N的长度的最小值为

.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练3用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝

若A＝{1,2}，B＝{x|（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）＝________.

答案　3

解析　因为C（A）＝2，A*B＝1，所以C（B）＝1或C（B）＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±2

时，易知C（B）＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－2

或a>2

时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C（B）＝4，不符合题意；当Δ<0，即－2

时，方程x2＋ax＋2＝0无实数解，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当－2

时，C（B）＝2，不符合题意．综上，S＝{0，－2

，2

}，故C（S）＝3.

1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉BC．A∩B＝BD．A∪B＝B

答案　C

解析　由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.

2．设集合M＝{－1,1}，N＝

，则下列结论中正确的是（　　）

A．NMB．MNC．N∩M＝∅D．M∪N＝R

答案　B

解析　由题意得，集合N＝

＝

，所以MN.故选B.

3．设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B等于（　　）

A．[2,4）B．{2,4}C．{3}D．{2,3}

答案　D

解析　由x2－3x－4<0，得－1

4．（2018·全国Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

答案　A

解析　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．

故选A.

5．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则∁AB等于（　　）

A．{－3，－2，－1}B．{－1,2,3}

C．{－1,0,1,2,3}D．{0,1}

答案　B

解析　由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则∁AB＝{－1,2,3}．故选B.

6．（2018·呼和浩特联考）已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2

A．{3,5}B．{2,3,5}

C．{2,3,4,5}D．{3,4,5}

答案　A

解析　由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则（∁UA）∩B＝{3,5}．故选A.

7．（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

8．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），由A⊆B，得a≥0.

9．已知集合P＝{x|y＝

，x∈N}，Q＝{x|lnx<1}，则P∩Q＝________.

答案　{1,2}

解析　由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为lnx<1，所以0

10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝__________.

答案　{x|x<－1或x≥2}

解析　集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，

∵log3（2－x）≤1＝log33，∴0<2－x≤3，

∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，

∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，

∴A∩（∁UB）＝{x|x<－1或x≥2}．

11．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．

答案　－2或1

解析　∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，∴

或

解得a＝－2或a＝1.

经检验，a＝－2和a＝1均满足题意．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

14．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

15．已知集合A＝

，B＝{（x，y）|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．

答案　[－

，

]

解析　由已知，无论k取何值，椭圆

＋

＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点（0，m）在椭圆

＋

＝1上或在其内部，∴m2≤2，∴－

≤m≤

.

16．已知A＝

，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}（a>0），若A∪B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　[5，＋∞）

解析　由

>0可得（x－2）（x－6）<0，

∴2

又x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－（1－a）][x－（1＋a）]≤0.

又a>0，∴B＝[1－a,1＋a]．

由A∪B＝B，得A⊆B，

∴

∴a≥5.

∴实数a的取值范围是[5，＋∞）．