离散数学试卷及答案一Word格式文档下载.doc

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{1},·

B.〈{-1},·

C.〈{i},·

〉D.〈{-i},·

5.设Z为整数集,A为集合,A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算,∩为集合的交运算,下列系统中是代数系统的有()

A.〈Z,+,/〉B.〈Z,/〉

C.〈Z,-,/〉D.〈P(A),∩〉

6.下列各代数系统中不含有零元素的是()

A.〈Q,*〉Q是全体有理数集,*是数的乘法运算

B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合,*是矩阵乘法运算

C.〈Z,〉,Z是整数集,定义为xxy=xy,x,y∈Z

D.〈Z,+〉,Z是整数集,+是数的加法运算

7.设A={1,2,3},A上二元关系R的关系图如下:

R具有的性质是

A.自反性

B.对称性

C.传递性

D.反自反性

8.设A={a,b,c},A上二元关系R={〈a,a〉,〈b,b〉,〈a,c〉},则关系R的对称闭包S(R)是()

A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA

9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系,要使Ix∪{〈a,b〉,〈b,c〉,〈c,a〉,〈b,a〉}∪R为X上的等价关系,R应取()

A.{〈c,a〉,〈a,c〉}B.{〈c,b〉,〈b,a〉}

C.{〈c,a〉,〈b,a〉}D.{〈a,c〉,〈c,b〉}

10.下列式子正确的是()

A.∈B.C.{}D.{}∈

11.设解释R如下:

论域D为实数集,a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):

x<

y.下列公式在R下为真的是()

A.(x)(y)(z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))

B.(x)A(f(a,x),a)

C.(x)(y)(A(f(x,y),x))

D.(x)(y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))

12.设B是不含变元x的公式,谓词公式(x)(A(x)→B)等价于()

A.(x)A(x)→BB.(x)A(x)→B

C.A(x)→BD.(x)A(x)→(x)B

13.谓词公式(x)(P(x,y))→(z)Q(x,z)∧(y)R(x,y)中变元x()

A.是自由变元但不是约束变元

B.既不是自由变元又不是约束变元

C.既是自由变元又是约束变元

D.是约束变元但不是自由变元

14.若P:

他聪明;

Q:

他用功;

则“他虽聪明,但不用功”,可符号化为()

A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q

15.以下命题公式中,为永假式的是()

A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐p

C.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)

二、填空题(每空1分,共20分)

16.在一棵根树中,仅有一个结点的入度为__0____,称为树根,其余结点的入度均为__1____。

17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,2〉},R的关系矩阵MR中m24=___1___,m34=___0___。

18.设〈s,*〉是群,则那么s中除__幺元____外,不可能有别的幂等元;

若〈s,*〉有零元,则|s|=___1___。

19.设A为集合,P(A)为A的幂集,则〈P(A),〉是格,若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______,最小上界是______。

20.设函数f:

X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2,它们的象y1和y2也不同,我们说f是___入射___函数,如果ranf=Y,则称f是___满射___函数。

21.设R为非空集合A上的等价关系,其等价类记为〔x〕R。

x,y∈A,若〈x,y〉∈R,则

〔x〕R与〔y〕R的关系是______,而若〈x,y〉R,则〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式(x)(y)(A(x)∧B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成立的条件是______不含有y,______不含有x。

23.设M(x):

x是人,D(s):

x是要死的,则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(x)______,其中量词(x)的辖域是______。

24.若H1∧H2∧…∧Hn是______,则称H1,H2,…Hn是相容的,若H1∧H2∧…∧Hn是______,则称H1,H2,…Hn是不相容的。

25.判断一个语句是否为命题,首先要看它是否为,然后再看它是否具有唯一的。

三、计算题(共30分)

26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示,试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。

27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集,是对称差运算,可以验证<

P(A),>

是群。

设n是正整数,求({a}-1{b}{a})n{a}-n{b}n{a}n

28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系

R={〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,1〉,〈4,2〉,〈4,3〉,〈3,5〉,〈4,5〉}∪IA;

(1)作出偏序关系R的哈斯图

(2)令B={1,2,3,5},求B的最大,最小元,极大、极小元,上界,下确界,下界,下确界。

29.(6分)求┐(P→Q)(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。

30.(5分)设带权无向图G如下,求G的最小生成树T及T的权总和,要求写出解的过程。

31.(4分)求公式┐((x)F(x,y)→(y)G(x,y))∨(x)H(x)的前束范式。

四、证明题(共20分)

32.(6分)设T是非平凡的无向树,T中度数最大的顶点有2个,它们的度数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2片树叶。

33.(8分)设A是非空集合,F是所有从A到A的双射函数的集合,是函数复合运算。

证明:

〈F,〉是群。

34.(6分)在个体域D={a1,a2,…,an}中证明等价式:

(x)(A(x)→B(x))(x)A(x)→(x)B(x)

五、应用题(共15分)

35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生,那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。

只要他学过DELPHI语言或者C++语言,那么他就会编程序。

因此如果他是计算机系本科生,那么他就会编程序。

请用命题逻辑推理方法,证明该推理的有效结论。

36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加,他们之间有的相互认识但有的相互不认识。

但对任意两个人,他们各自认识的人的数目之和不小于20。

问能否把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人?

根据是什么?

参考答案

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题1分,共15分)

1.B2.D3.A4.A5.D

6.D7.D8.C9.D10.B

11.A12.A13.C14.B15.C

二、填空题

16.01

17.10

18.单位元1

19.x∩yx∪y

20.入射满射

21.[x]R=[y]R

22.A(x)B(y)

23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x)

24.可满足式永假式(或矛盾式)

25.陈述句真值

三、计算题

26.M=

M2=

G中长度为2的路总数为18,长度为2的回路总数为6。

27.当n是偶数时,x∈P(A),xn=

当n是奇数时,x∈P(A),xn=x

于是:

当n是偶数,({a}-1{b}{a})n{a}-n{b}n{a}n

=({a}-1)n{b}n{a}n=

当n是奇数时,

({a}-1{b}{a})n{a}-n{b}n{a}n

={a}-1{b}{a}({a}-1)n{b}n{a}n

={a}-1{b}{a}{a}-1{b}{a}=

28.

(1)偏序关系R的哈斯图为

(2)B的最大元:

无,最小元:

无;

极大元:

2,5,极小元:

1,3

下界:

4,下确界4;

上界:

无,上确界:

29.原式(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))

((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))

(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))

(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))

(P∧Q)∨(P∧┐Q)

P∧(Q∨┐Q)

P∨(Q∧┐Q)

(P∨Q)∧(P∨┐Q)

命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1

30.令e1=(v1,v3),e2=(v4,v6)

e3=(v2,v5),e4=(v3,v6)

e5=(v2,v3),e6=(v1,v2)

e7=(v1,v4),e8=(v4,v3)

e9=(v3,v5),e10=(v5,v6)

令ai为ei上的权,则

a1<

a2<

a3<

a4<

a5=a6=a7=a8<

a9=a10

取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即,

T的总权和=1+2+3+4+5=15

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