福州一中自主招生面向福州以外地区试题数学答案Word文档格式.doc
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D
A
B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
7. 8.
9. 10.
11. 12.
三、解答题(本大题共3小题,满分40分)
13.本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法;
特殊四边形的性质及判定等基础知识,考查识图、辩图、逻辑推理能力,考查几何直观等形象思维.满分13分.
(Ⅰ)法一:
证明:
过作于,于,……………………1分
∵四边形是正方形,
∴,
∴四边形是矩形,
又∵是的角平分线,
∴……………………………………2分
∴四边形是正方形,
∴,
∵,
∴
∴……………………………………4分
在和中,
,
∴≌(),……………………………………5分
∴……………………………………6分
法二:
连,由,
两点都在以为直径的圆上,.....................2分
∴.....................3分
∵四边形是正方形,
∴,∴,∴
......................5分
(Ⅱ)法一:
∵四边形是矩形,
又∵,
∴∥,
∴∽,
∴,……………………………………7分
同理,,
∴,
∴,……………………………………9分
∵,,
∴∽……………………………………10分
∴……………………………………11分
∴为定值.…………………………………12分
两点都在以为直径的圆上,..................8分
,......................9分
∵....................11分
∴.....................12分
(或证明)
14.本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识,考查应用意识、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分14分.
解:
在中作于点.…………………2分
在中,
……………………………………3分
………………………………4分
依题意,以点为圆心,12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分
∵
所以,如果渔船不改变航线继续航行,有触礁危险.……………………………6分
在上取点使得,连接,.
在中,,
所以,
……………………………8分
在中,
……………………………9分
所以,在中,
……………………………11分
因为该渔船到达点的时间小时.
所以巡逻船速度海里/小时.………………………13分
所以,巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截.………………………14分(注:
没有取“=”扣1分)
15.本题考查一次函数和二次函数的图像与性质,综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定,解题过程中利用了图象平移的性质,蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想.满分14分.
(Ⅰ)法一:
当时即,则有两个不同的实根,
(注:
说明因二次函数开口向上,与轴交于、两点则亦可)……1分
由已知可得,,则
解得或(舍),.......................................3分
............4分
过作轴于
当时即,则有两个不同的实根,...1分
解得,则
由已知可得,,设直线与轴交于点,
∵,
为等腰直角三角形
即解得
,...................................3分
............4分
(Ⅱ)设交轴于.由题意可得,
,,
∵点和点关于轴对称
,为等腰直角三角形且
由平移的性质可知且...............6分
设,则,
....................8分
解得或,则或....................9分
(Ⅲ)连接,
,.......10分
由(Ⅱ)可知,
∵
四边形为矩形
在的垂直平分线上......................11分
过作于,由垂线段最短可知即为线段的最小长度..........12分
当点在处时,在的中点处,当点在处时,在上的点处
由上可知.
则,,,
∵四边形为矩形
得,
即线段的最小长度为..............................14分
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