当OD过点E时最大，最大值为
+1.
故答案为：
+1.
【总结】
1、我们如何知道是哪个三角形呢？
我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。
【巩固练习】
1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.
2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是___________________.
3、如右图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为___________________.
4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm.
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值=_____________cm.
5、如图，抛物线
经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=
BC，且AC=BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围.
模型讲解
如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短
在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，
0Q+QP>OP
OP=0Q
+Q
P，且OQ=0Q
0Q+QP>0Q
+Q
P
QP>Q
P
所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.
【另外三种情况】
点P在圆外，PQ最长点P在圆内，PQ最长点P在圆内，PQ最短
【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。
【例题讲解】
例题1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB
F，连接B
D，则B
D的最小值是___________.
【解析】
如图，根据已知条件，在△EB
D中，我们发现，EB
为定值2，ED根据勾股定理计算可得也为定值
，而B
D即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB'D就是我们要找的三角形，
B
D≤ED-EB
当B
在ED上时，B
D最小
B
D的最小值为
-2
【巩固练习】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值_______________.
3、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是_____________.
4、如图，已知直线y=
x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B
CP，连接B
A，则B
A长度的最小值是________________.
6、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3
，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A
MN，连接A
C，则A
C长度的最小值是____________.
7、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是____________.
8、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______________.
9、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作
，将一块直角三角板的直角顶点P放置在
（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.
10、问题情境：
如图1，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离.
（1）探究：
如图2，在⊙0上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC.试证明：
PA（2）直接运用：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是
上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是______________.
（3）构造运用：
如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A
MN，连接A
C，请求出A
B长度的最小值.
解：
由折叠知A
M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA
=MD，故点A
在以AD为直径的圆上.（请继续完成解题过程）
（4）综合应用：
①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________.
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于________________.
1.解：
如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝
×2＝
，
∵∠MON＝90°，
∴OD＝
AB＝
×2＝1，
由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，
最大值为
+1．
故答案为：
+1．
2.解：
如图，取CA的中点D，连接OD、BD，
则OD＝CD＝
AC＝
×4＝2，
由勾股定理得，BD＝
＝2
，
当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，
所以，点B到原点的最大距离是2+2
．
故答案为：
2+2
．
3.解：
当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，
如图，BD＝2
，BK＝1，
∴DK＝
＝
，OK＝BK＝1，
∴OD的最大值为：
1+
，
同理，把图象沿AB边翻折180°得最小值为：
1+
﹣1×2＝
﹣1，
∴顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为：
（
+1）（
﹣1）＝12．
故答案为：
12．
4.解：
（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：
在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，则BC＝6，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
又∵∠CBA＝60°，
∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，
∴BD＝3，CD＝3
，
所以点C的坐标为（﹣3
，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：
AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6
．
∴A'O＝6
﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12
在△A'OB'中，由勾股定理得，
（6
﹣x）2+（6+x）2＝122，
解得：
x＝6（
﹣1），
∴滑动的距离为6（
﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE＝﹣x，OD＝y，
∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴
，即
，
∴y＝﹣
x，
OC2＝x2+y2＝x2+（﹣
x）2＝4x2，
∴取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO＝CD+OD＝6+6＝12，
故答案为：
12．
5.解：
（1）∵OA＝
BC，AC＝BC
∴设OA＝3k，AC＝BC＝5k（k＞0）
∴OC＝
∵当x＝0时，y＝ax2﹣10ax+c＝c
∴C（0，c），即OC＝c＝4k
∴k＝
∴A（﹣
，0）B（
，c）
∵抛物线经过点A、B
∴
解得：
∴抛物线解析式为：
y＝﹣
x2+
x+8
（2）如图2，在x轴上截取AE＝AC，连接QE
∵AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA
∵CB∥x轴
∴∠CBA＝∠BAD
∴∠CAB＝∠BAD
在△ACQ与△AEQ中
∴△ACQ≌△AEQ（SAS）
∴QC＝QE
∴|QC﹣QD|＝|QE﹣QD|≤DE
∵y＝0时，﹣
x2+
x+8＝0，解得：
x1＝﹣6，x2＝16
∴A（﹣6，0），D（16，0）
∴AE＝AC＝
＝10
∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AC＝16﹣（﹣6）﹣10＝12
∴0≤|QC﹣QD|≤12
1.解：
如图1，取BC的中点E，
连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，
在△AEP中，AP+EP＞AE，
即：
AP'是AP的最小值，
∵AE＝
，P'E＝1，
∴AP'＝
﹣1；
故答案为：
﹣1；
2.解：
∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴PA＝AB＝AC＝a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD＝5，
∴AP′＝5+1＝6，
∴a的最大值为6．
故答案为6．
3.解：
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线
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