第九章-混料试验设计 (1)PPT文档格式.ppt

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,混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。

它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。

混料条件

（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。

混料试验设计常采用Scheffe多项式回归模型。

例如，一般的三元二次回归方程为,而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为,比较式

（2）和式（3）可知，Scheffe多项式没有常数项和平方项。

这是因为，将约束条件代入式

（2），即可推导得到式（3）。

假定混料问题的三分量二次回归方程为一般式：

通常，混料试验设计的p分量d次多项式回归方程，其Scheffe多项式（或称为规范多项式）为一次式（d=1）：

二次式（d=2）：

三次式（d=3）：

由此看来，混料试验设计的（p,d）的Scheffe多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p因素d次多项式回归方程要少。

例如，对于混料试验设计（p,2）的回归方程式，无常数项和二次项。

于是，减少了p+1个回归系数，所以至少可以少做p+1次试验。

二、单形混料设计,1、单形混料设计的定义及特点在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheffe于1958年提出的。

它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。

在混料问题中，各分量xi（i=1,2,p）的变化范围受混料条件式

（1）的制约。

在几何上，称为p维平面，而（x1,x2,xp）为p维平面上点的坐标。

在p维平面上满足的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。

单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标xi=1,而其余的p-1个坐标xj=0（ji）,则这种点称为单形的顶点。

因此，在p因子混料试验中，单形的顶点有p个。

例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。

所以单型的图形为一等边三角形。

对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为A（1，0，0）、B（0，1，0）和C（0，0，1）。

设P（x1、x2、x3）为这单形的内点，定义x1表示P点到边BC的距离，x2为P点到边AC的距离，x3为P点到边AB的距离。

为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形。

取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可知，ABC内任一点P到三个边的距离之和为1，即x1+x2+x3=1。

所以，三因子混料试验可以用等边三角形这样一个单形上的点表示。

一般情况下，对p因子混料试验，其p个顶点分别为A1（1，0，0，0）、A2（0，1，0，0）、Ap（0，0，0，1）。

设P（x1,x2,xp）为单形的内点，定义x1，x2，xp分别表示P点到A2Ap面的距离、A1A3Ap面的距离、A1Ap-1面的距离，并取p-1维空间内正多边形的高为1，于是，我们就建立了p因子混料试验的单形坐标系。

三角形内的点P（x1,x2,xp）表示三分量的混料的具体比例。

2、单形重心混料设计在p维单形中，任意两个顶点组成一条棱边，棱的中点表示其重心，称为两顶点重心；

任意三个顶点组成一个正三角形，该三角形的中心即是其重心，单个顶点的重心就是顶点本身，称为顶点重心。

在一个p因子单形重心设计中，试验点数目是2p-1，包括：

p个顶点（1，0，0），（0，0，1），共有c1p个点；

两个顶点的重心点（1/2,1/2,0,0），（0,0,1/2,1/2），共有c2p个点；

三个顶点的重心点（1/3,1/3,1/3,0,0），（0,0,1/3,1/3,1/3），共有c3p个点；

p个顶点的重心点（1/p,1/p,1/p），共有cpp个点。

显然，单形重心设计的全部点的坐标不依赖于d。

当p=3时，单形重心设计的试验点数目=23-1=7，包括：

以（1，0，0）为代表的C1p=C13=3个点；

以（1/2,1/2,0）为代表的C2p=C23=3个点；

以（1/3,1/3,1/3）为代表的C3p=C33=1个点。

所以，总的试验点数目为N=C13+C23+C33=7,试验方案,3，3单形重心设计即三元三次回归方程（p=3和d=3时）的回归方程为：

上式中回归系数的计算公式为,3、单形格子混料设计3.1、单纯形格子设计法对于由混料条件式

（1）构成的正规单（纯）形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子设计。

对于三因素（p=3时）的格子点集，其单形是一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全体称为一阶格子点集，记为3，1，如图。

将高为1的等边三角形的三条边各二等分，则该三角形的三个顶点与三条边的中点的全体称为二阶格子点集，记为3，2，如图。

将等边三角形的各边进行三等分，对应分点连成与各边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些格子顶点的全体称为三阶格子点集，记为3，3，如图，其中共有10个点。

单形格子设计具有以下两个特点：

（1）、每个p，d设计所要做的试验次数为Cdp+d-1，恰好等于完全型规范多项式回归方程中的回归系数的个数。

因而单形格子设计是饱和设计，是一种优化设计。

代表试验的点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子，称为p，d格子。

每一点的p个坐标代表p个因素的成分值，它们加起来的和等于1；

（2）、试验点的成分与模型的次数（或阶数）d有关，我们约定每一成分xi取值为1/d的倍数，即xi=0,1/d,2/d,d-1/d。

并且在设计中因素成分量的各种配合都使用到。

单（纯）形格子设计的试验点数，与相应的完全型规范多项式回归方程的阶数（或次数）d的关系，见下表。

单（纯）形格子设计的试验点数（Cdp+d-1）,3，2（三因素二阶格子）试验计划表,回归方程为：

4，2（四因素二阶格子）试验计划表,回归方程为：

3，3（三因素三阶格子）试验计划表,回归方程为：

3.2、回归系数的计算在单（纯）形格子设计中，每个回归系数的值只取决于所对应的一些格子上的观测值，而与其它设计点上的观测值无关，故使得用最小二乘法计算回归系数变得很简单。

各回归系数均可表达为相应设计点上观测值的简单线性组合。

以3，2三因素二次单形格子设计为例，即p=3，d=2，响应方程为：

成分的取值0，1/2，1。

此时单形格子设计及试验结果如下表。

3，2（三因素二阶格子）试验计划表,为了求出模型中系数的估计，可以通过把同一号的试验成分值分别代入上述模型中的x1、x2和x3，并把观测值yi代入对应的，这样便得到一组方程，解这组方程便可获得回归系数的估计值。

将第1号试验（1，0，0）代入（x1，x2，x3），便得到b1=y1,同理可得,P个因素，二阶单纯形格子设计回归方程的系数公式为：

单形格子设计的很大优点是：

响应函数（即规范多项式）各项的意义很容易理解。

在上面的系数估计公式中可以看出，一次项的系数bi只受单形的第i个顶点上观测值的影响。

一次项bixi反映了纯组分（只有一个坐标xi为1，其余均为零）的响应。

若响应曲面是一个平面，则方程表示成分与观测值（响应值）的线性组合（即xiy之间的线性组合）。

二次项系数bij仅受单形中连接第i个和第j个顶点的棱上试验点观测值的影响。

全体二次项表示响应曲面与上式所表示的平面之间的离差。

应当指出的是，二次项bijxixj不能单纯理解为xi和xj的交互效应，这是因为它们受约束条件式的限制，不能独立地变动，所以它们只表示一种非线性混合的关系。

当bij0时，Scheffe称这种非线性混合关系为协调的；

而当bij0时，则称为对抗的。

在单形格子设计所安排的试验中，总有几个试验，它的成分中有一个为1其余为0，如（1，0，0）；

或者一个或几个为0，其余非0，如（1/3，2/3，0，0）。

但在实际感兴趣的试验中却正好相反，不等于0的成分占大多数，少数有一、二个成分为0、其余不为0的试验点。

所以为了使单形设计能适用于这类实际情况，必须进行编码。

与“回归正交试验设计”一样，编码不是试验的真正成分，而是一种变换。

这种变换的结果是试验设计中出现的因素水平。

下面，结合一个具体例子来介绍编码的方法。

例：

一种火箭推进剂是由三种成分A、B、C混合制成。

这里A表示实际成分固定剂，B表示氧化剂，C表示燃料。

采用单形格子设计3，2。

下表中给出了设计的编码和实际成分。

表中A、B、C下的数值是编码数。

现在寻找编码与实际成分的关系。

用xi表示编码，zi表示实际成分。

分别找出z1、z2、z3的最小值分别为a1=0.2、a2=0.4、a3=0.2。

作变换,这样，就使每种成分zi的最小值（ai）所对应于xi的编码为0，于是这就是关于本例的编码与实际成分的转换公式。

一般情况下，p因子混料试验的编码xi与实际成分zi之间的转换公式为：

这里ai为zi的最小值。

再求出响应函数（y）与编码（xi）的回归方程,3、具有约束条件的混料试验设计3.1、有下界约束条件的混料设计,当p=3时，在上式约束条件下所安排的试验，如下图所示。

试验区域是正三角形x1x2x3内的小正三角形x1x2x3。

对于小正三角形x1x2x3上的任一点，若采用其正规单形坐标系x1-x2-x3表示，就可将对于大正三角形坐标系下存在的下界约束条件的混料试验，转化为对于小正三角形坐标系的无约束混料试验。

于是，就可以在小正三角形上进行单形格子设计或单形重心设计。

如图所示的是进行三因素单形重心设计的各试验点的分布。

坐标系x1x2x3是实际成分的变化空间，称为自然空间；

而坐标系x1x2x3则是编码成分的变化空间，称为编码空间。

单形坐标系所表示的自然空间与编码空间的变换公式，可由单形的顶点坐标确定。

由下图可知，小正三角形三个顶点在两个坐标系中的坐标分别为：

一般情况下，对于p个分量存在下界约束的混料问题，设计区域中任一点的坐标关于自然空间和编码空间的变换式为,这样，在自然空间与编码空间之间建立了一一对应关系。

通过以上变换公式，将混料的实际成分变成编码成分，使存在下界约束的混料问题变换为无下界约束的混料问题，然后进行单形重心设计，求得回归方程。

试制某种喷气剂，三种混料成分有下界约束：

粘合剂0.2，氧化剂0.4，燃料0.2。

本试验的目的是要找出使弹性模数大于3000的混料，且粘合剂用量越少越好。

本题是存在下界约束的混料问题，其试验区域是大正三角形内的一个小正三角形。

已知a1=0.2，a2=0.4，a3=0.2，而故试验区域内任意一点的坐标关于自然空间与编码空间的变换关系式为：

本例采用三分量三阶单形重心设计3，3，试验次数N=2p-1=23-1=7。

利用上式求出7个试验的实际配比，并进行试验。

试验方案及结果如下表所示。

试验方案及结果,根据公式可求出回归系数,最后，得到指标y关于小正三角形坐标系