高中数学第二章平面向量向量的概念教学设计新人教B版必修通用Word格式文档下载.doc
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意图:
向量概念不是凭空产生的.用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小,而且有方向”,让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自然引出学习内容.
问题1你能否再举出一些既有方向,又有大小的量?
激活学生的已有相关经验.
(学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量.)
追问:
生活中有没有只有大小,没有方向的量?
请你举例.
形成区别不同量的必要性.
(学生所举的例子有年龄、身高、面积等.)
概念抽象需要典型丰富的实例.让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟,形成对概念的初步认识,为进一步抽象概括做准备.
T:
由同学们的举例可见,现实中有的量只有大小没有方向,有的量既有大小又有方向.类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1,数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象,就形成一种新的量——向量(板书概念).
演练回馈一【概念辨析】
1、身高是一个向量()
2、温度含零上和零下温度,所以温度是向量()
3、坐标平面上的x轴和y轴都是向量()
4、有人说,由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示,海平面以下的高度用负数表示,所以海拔也是向量,你认为对吗?
1.2向量的几何表示
问题2数学中,定义概念后,通常要用符号表示它.怎样把你所举例子中的向量表示出来呢?
让学生先尝试向量的表示方法,自觉接受用带有箭头的线段(有向线段)来表示向量.
看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好.在初中,常用AB,CD,a,b,c等表示线段.现在,我们加上箭头,用,,,,等表示向量.以前AB与BA表示同一线段,现在和表示同一向量吗?
为什么?
S:
不.向量和起点、终点正好相反.
对,方向是向量的本质属性之一.向量的另一本质属性是大小,我们用||表示,称为向量的模.同样,用||来表示向量的模.因为向量有大小和方向两个要素,只用代数形式或几何形式是无法确定的,必须两者结合.
思考:
既然向量可以用有向线段表示,那么向量是否就是有向线段?
1.3零向量与单位向量
现在,我们已经建立了一个向量的集合.就象每个人都有名字一样,这个集合中的每一个向量都有了名称.那么
问题3你认为在所有向量组成的集合中,哪些向量较特殊?
引导学生学会观察一组对象.面对一组对象,首先注意特殊对象是自然的.
(学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的.)
大家为什么认为它们最特殊?
你们是怎么想的?
挖掘结果背后的思维过程.企图引导学生把向量集合与实数集类比.
(课堂中,学生从长度这个角度进行了解释,认为零向量的长度是0,单位向量的长度是1,最为特殊.这表明他们已经在把向量集与实数集作类比.从实数集的认知经验出发,自然会想到零向量、单位向量的特殊性.)
是的.类比实数的学习经验有利于向量的学习.在实数中,0是数的正负分界点,有0就可定义相反数;
1是“单位”,作用很大.对实数的研究经验告诉我们,“引进一个新的数就要研究它的运算;
引进一种运算就要研究运算律”.可以预见,引进向量就要研究向量的运算,进而就要研究相应的运算律或运算法则.所以,对于向量,还有许多内容等待我们去研究.
2.相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成
问题例2观察图1中的正六边形ABCDEF.给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说说你所标注的向量之间的关系.(举例)
不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义,再做练习巩固,而是让学生参与概念的定义过程,使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.
留给学生足够的时间,并提出问题5,组织学生交流.
问题5你是怎样研究的?
比如,你画了哪几个向量?
你认为它们有怎样的关系?
不仅关注结果,更要关注过程.尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程.
(课堂中,有的学生首先关注大小;
有的学生首先画出向量与,认为它们长度相等且方向相同,是相等的向量;
也有学生首先画出向量与,认为它们是共线的向量;
等.教师适时介入,解释数学中的向量是自由向量,可以平移,因此,与也称为共线向量.“平行向量”的产生比较顺利,但“相反向量”的产生有困难,其间还类比了“相反数”.)
归纳得到:
(1)从“方向”角度看,有方向相同或相反,就是平行向量,记为∥;
(2)从“长度”角度看,有模相等的向量,||=||;
(3)既关注方向,又关注长度,有相等向量=,相反向量=-.
我们规定:
零向量与任意向量都平行,即∥.
问题6由相等向量的概念知道,向量完全由它的方向和模确定.由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗?
另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别?
让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分,真正抓住向量的本质特征,完成“数学化”的过程.
3.阅读课本
请同学们把课本看一遍,看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致,有什么遗漏?
有什么不同?
通过阅读,对本课的内容再一次进行归整、明晰.引导学生重视课本.
4.课堂练习
5.课堂小结
问题7(引导学生自己小结)能否画个图,把今天学的内容梳理一下?
(有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分,与图2所呈现的内容基本一致,只是把“特殊关系”说成了“向量的性质”,这也是正确的.教师肯定了她的结论,展示了图2.)
今天我们学习向量的概念及其表示方法,并初步研究了向量这个集合,发现了其中的两个特殊向量,以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路,即:
从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系.
这里特别要注意,因为向量带有方向,所以只用代数的形式已无法表示,必须结合几何的形式.因此,向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”.随着学习的深入,我们会看到这种身份给向量带来的力量.
另外,我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合.我们知道,数与运算分不开,数的概念的发展也与运算不可分割.例如,为了解方程x2=2,我们需要有无理数概念,于是要有“开方”运算.引进一种新的数,就要研究关于它的运算;
引进一种运算,就要研究相应的运算律.今天我们引进了一个新的量——向量,下面我们该研究它的哪些问题?
如何研究?
请同学们课后认真考虑,下节课来交流.(说罢,教师在“特殊关系”的右边增加了省略号“……”.)
6.布置作业(略)