线性代数郝志峰习题详解Word文档格式.doc

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（2）解一，按第n行、第n+1行展开，得

解二，按最简一行、最后一行展开得.

故

14、设，则得，

这时，得，故，即.

15、,

当时，有非零解.

习题二

1、

（1）

（3）.

2、

即：

，这时，。

3、

（1）

（2）

4、

5、

6、从变量到变量的线性变换为

7、各工厂的总收入和总利润为.

8、设，由得，即，利用，利用，这时.

9、设，由得，即，故，这时，其中为常数.

10、

（1）,故;

（2），故.

11、，

12、

（1）根据对称矩阵的性质：

，根据反对称矩阵的性质：

；

（2）根据可逆对称矩阵的性质：

13、

（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：

（2）先证必要性，若是反对称矩阵，则；

为反对称矩阵，为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即可交换.

再证充分性，若，则为反对称矩阵。

设为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即为反对称矩阵.

14、.

15、

（1）；

16、，则。

17、用数学归纳法去证。

当时，.

当时，成立.

则时，，

故为正整数时，.

18、用归纳法去证.

当时，，等式成立；

则当时，

故为正整数时，成立.

而

19、因，而，故，则均可逆.

20、因，而，故.

21、设，则，

由；

即.

22、，则，而，，故.

23、

（1），其中，，而，故；

（2），其中，而，故.

24、

故.

（矩阵行阶梯形）（矩阵行最简形）.

26、

这是矩阵A的标准形D.

27、

这是矩阵的标准型.

28、在秩为的矩阵中，有阶子式、有阶子式，如的，其中有等于0的一阶子式、二阶子式.

29、

（1）

，故.

（2）

，故.

30、，

当时，；

31、先证必要性若，即初等变换后化为矩阵，而初等变换不改变矩阵的秩，故；

再证充分性设，由矩阵的等价标准形理论知，矩阵与有等价标准形，，即，由等价关系的传递性知.

习题三

1、.

2、，则.

3、

，这时.

当时，可由线性表示.

这时，，为矩阵行阶梯形，为矩阵行最简形，于是.

说明：

这一题可用克莱姆法则求解.

5、

（1）记，因为向量组不能由向量组线性表示，所以，从而

这时，；

，

这时.

6、

（1）因为，所以线性相关.

（2）因为，所以线性相关.

（3）因为，所以线性无关.

（4）因为是四维三个向量，所以线性无关.

（5）因为是二维三个向量，所以线性相关.

7、因为，所以.

8、

（1），则线性相关，但不能由线性表示.

（2），则存在，使

，但线性无关，线性无关.

（3），则只有时，使，但这时线性无关，而线性相关.

9、因为线性相关，由相关定义知，有一组不全为零的数使得，假设，则不全为零，由上式得.

由相关定义知，线性相关，这与题设矛盾，故，于是，则可由线性表示.

10、用反证法，设有两种不同表示法，，则，而线性无关，故，最后的结果说明表示式是唯一的.

11、先证必要性。

设线性无关，为任意维向量，若，则，即可由线性表示。

若，则线性相关，因向量的个数大于向量的维数，而线性无关，故可由线性表示（例9已证）.

再证充分性。

任一向量可由线性表示，则维单位向量也可由线性表示，而向量组与向量组等价，因为线性无关，所以也线性无关.

12、

（1）因为，所以极大无关组为，亦或或。

13、

为矩阵的行阶梯形，为矩阵的行最简形.

（1）由矩阵可见，线性无关，这是所求的极大无关组；

（2）；

（3）由矩阵可见，记，则，即。

14、

（1）两个向量不成比例，故线性无关；

包含的极大无关组为.

（3）.

15、先证向量组等价.显然向量组可由向量组线性表示.又，即，从而

这说明向量组可由向量组线性表示，故向量组等价.

再证秩相等。

则由向量组等价，且个数相同（均为），故。

16、由作为列构成矩阵.

，故，则

，故两个向量组可以互相线性表示，因而向量组等价.

17、

（1）；

（2）.

18、

（1）；

（2），即.

19、因为，所以已成正交，故，则

再单位化：

20、取，则，

，

21、

（1）不是正交矩阵，因第一行元素平方之和；

（2）是正交矩阵，因第行元素平方之和等于1，第行、第行对应元素之和等于零.

22、先证为对称矩阵：

再证为正交矩阵：

23、因都是阶正交矩阵，故；

而，故为正交矩阵.

习题四

，故，取，则，基础解系为.

（2）、，得同解方程组，取，得，故基础解系为.

2、

（1）通解为，（为任意实数）.

，得同解方程组，取，则，基础解系为，通解为.

3、，第一个方程与第二个方程对调，并乘第一个方程，得：

当时，此方程组有非零解.

4、

，故无非零解.

5、

（1）总有解（因）.只有零解，就没有基础解系；

有非零解，则存在基础解系；

基础解系不唯一，基础解系中含有个解向量.

（2）若已知的一个基础解系为，则的通解形式为，其中为任意实数.

（3）若是的基础解系，则也是的基础解系，这因为：

，即，由于线性无关，故，从而得.

（4）有非零解，且，则，这是正确的结论.

6、先证必要性.若三个向量共面，由共面的充要条件为，知齐次线性方程有非零解.

再证充分性.若齐次线性方程组有非零解，则，即三个向量共面.

7、设为的基础解系，由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，故等价的线性无关向量组可以为，则可由线性表示，从而也是的解.

又线性无关，的任一解可由线性表示，从而可由线性表示，这就说明也是一个基础解系.

8、设为的基础解系，又设为的线性无关解，由第7题可知，只要证明这两个解向量等价即可.

因为基础解系，故可由线性表示，即

因为线性无关，所以，则可由线性表示，因而这两个向量组等价.

9、利用原方程组与方程组同解，的秩相等，则可证明可由线性表示.

10、记，由，故是的解.反之，若是的解，则.

11、将通解改写为，由此可知，所求方程组有两个自由未知数，且对应的齐次线性方程组为，即，所给表达式为其通解.

12、因为，所以，对施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵，

，要使，则必有，此时与同解方程组为，取，则有，故基础解系为

13、因，且中某元素的代数余子式，故存在非零的阶子式，从而可知，则基础解系中所含解向量的个数为.

14、

（1），即

则

同解方程组为，

则（其中为任意常数）.

15、

当时，方程组有唯一解.

当时，，因为，所以方程组无解.

，即有同解方程组，解为

其中为任意常数.

16、

，故，方程组有解.

17、

，当时，有解.

18、解一，，当时，方程组有唯一解.

当时，原方程组为；

，同解方程组为，

即（为任意常数）.

当时，原方程组为，即，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.

解二，对原方程组的增广矩阵施初等行变换，

于是，当时，原方程组无解；

当时，原方程组有唯一解；

当时，原方程组有无穷多组解，其全部解为（其中为任意常数），（或（为任意常数））.

19、

（1）若，则必有解，且有无穷多解.

（2）若，则必有解，且有唯一解.

（3）若只有零解，则有唯一解，这是错误的结论，因二者不一定相等.

20、设，得线性方程组为

其系数行列式，由此可见：

（1）当时，则方程组有唯一解；

故可由唯一的线性表示；

（2）当时，则方程组有无穷多解，故可由线性表示，这时；

（3）当时，则方程组的增广矩阵

因，故方程组无解；

从而不能由线性表示.

21、证一，用非齐次方程组解的定义去证：

因为，

所以是的解.

证二，用非齐次方程组解的结构定理去证：

因为是的解，则是的解，

所以也是的解，即

是的解.

22、

有解的充要条件为，故必要求.

23、由题设知均为的解，且线性无关，而为的解，则的通解为.

24、对增广矩阵施初等行变换，得

同解方程组为，取得，即得非齐次线性方程组的一个解为.对应齐次线性方程组，取得，即对应齐次线性方程组的基础解系为.

25、因为线性无关，且，所以，从而的基础解系中含个解向量，又由得，故是的一个基础解系；

又由得，即，可见是的一个特解，故的通解为（（为任意常数）.

26、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩，又是的三个解向量，则，故的通解为（为任意常数）.

27、设小鸡、母鸡、公鸡的个数为，则，由

（2）得

，由得，即，

现求其正整数解为.

习题五

1、

（1），

，故的特征值.

当时，解方程，由

，得基础解系为，对应于全部特征向量为（的任意常数）.

当时，解方程，由，得基础解系为，对应于全部特征向量为（不同时为零的任意常数）.

（2），

，故的特征值为.

，得基础解系为，对应于全部特征向量为（任意常数）.

（3），故的特征值为.

当时，解方程，由，得基础解系中解向量个数为，因而任意三个线性无关的向量都是它的一个基础解系，不妨取三维单位向量组，就是对应特征值的特征向量，对应于全部特征向量为（不全为零的任意常数）.

此结论可推广至阶，不妨取个单位向量组，就是对应于特征值的特征向量。

2、由为矩阵的特征值知，从而；

把代入矩阵，通过计算得，故.

3、由两边左乘得，由得，即，因为，所以，由此得.

4、已知是的特征值，故是的一个特征值，则的一个特征值为.

5、因是的特征值，故，从而的特征值为，即

的特征值为，于是的特征值为，

因而.

6、用反证法设是A的属于特征值的特征向量，即

则由，得

即.

因是分别属于不同的特征值的特征向量，从而线性无关，故由上式得

即

这与矛盾，因而不是A的特征向量.

7、则；

相似对角矩阵为

8、

（1）A中有特征值1,3,0，有三个不同的特征值，故A可相似对角化.

（2）B中特征值为1,1,3，当时，

故的基础解系中仅含有一个向量

即只有一个线性无关的特征向量，故B不能相似对角化.

（3）由得C的特征值为1个6,2个0，当时，,这说明的基础解系由2个解向量组成，故有两个线性无关的特征向量，故C可相似