1、(2)解一,按第n行、第n+1行展开,得解二,按最简一行、最后一行展开得.故 14、设,则得,这时,得,故,即.15、,当时,有非零解.习题二1、(1) (3).2、即:,这时,。3、(1) (2)4、5、6、从变量到变量的线性变换为7、各工厂的总收入和总利润为.8、设,由得,即,利用,利用,这时.9、设,由得,即,故,这时,其中为常数.10、(1),故; (2),故.11、,12、(1)根据对称矩阵的性质:,根据反对称矩阵的性质:; (2)根据可逆对称矩阵的性质:13、(1)根据对称矩阵、反对称矩阵的性质:(2)先证必要性,若是反对称矩阵,则;为反对称矩阵,为反对称矩阵,为对称矩阵,则,即可
2、交换.再证充分性,若,则为反对称矩阵。设为反对称矩阵,为对称矩阵,则,即为反对称矩阵.14、.15、(1);16、,则。17、用数学归纳法去证。当时,.当时,成立.则时,故为正整数时,.18、用归纳法去证.当时,等式成立;则当时,故为正整数时,成立 .而19、因,而,故,则均可逆.20、因,而,故.21、设,则,由;即.22、,则,而,故.23、(1),其中,而,故;(2),其中,而,故.24、故.(矩阵行阶梯形)(矩阵行最简形).26、这是矩阵A的标准形D.27、这是矩阵的标准型.28、在秩为的矩阵中,有阶子式、有阶子式,如的,其中有等于0的一阶子式、二阶子式.29、(1) ,故. (2),
3、故.30、,当时,;31、先证必要性 若,即初等变换后化为矩阵,而初等变换不改变矩阵的秩,故; 再证充分性 设,由矩阵的等价标准形理论知,矩阵与有等价标准形,即,由等价关系的传递性知.习 题 三1、.2、,则.3、 ,这时.当时,可由线性表示.这时,为矩阵行阶梯形,为矩阵行最简形,于是.说明:这一题可用克莱姆法则求解.5、(1)记,因为向量组不能由向量组线性表示,所以,从而这时,;,这时.6、(1)因为,所以线性相关. (2)因为,所以线性相关.(3)因为,所以线性无关.(4)因为是四维三个向量,所以线性无关.(5)因为是二维三个向量,所以线性相关.7、因为,所以.8、(1),则线性相关,但不
4、能由线性表示.(2),则存在,使,但线性无关,线性无关.(3),则只有时,使,但这时线性无关,而线性相关.9、因为线性相关,由相关定义知,有一组不全为零的数使得,假设,则不全为零,由上式得.由相关定义知,线性相关,这与题设矛盾,故,于是,则可由线性表示.10、用反证法,设有两种不同表示法,则,而线性无关,故,最后的结果说明表示式是唯一的.11、先证必要性。设线性无关,为任意维向量,若,则,即可由线性表示。若,则线性相关,因向量的个数大于向量的维数,而线性无关,故可由线性表示(例9已证).再证充分性。任一向量可由线性表示,则维单位向量也可由线性表示,而向量组与向量组等价,因为线性无关,所以也线性
5、无关.12、(1)因为,所以极大无关组为,亦或或。13、为矩阵的行阶梯形,为矩阵的行最简形. (1)由矩阵可见,线性无关,这是所求的极大无关组;(2);(3)由矩阵可见,记,则,即。14、(1)两个向量不成比例,故线性无关; 包含的极大无关组为. (3).15、先证向量组等价.显然向量组可由向量组线性表示.又,即,从而这说明向量组可由向量组线性表示,故向量组等价.再证秩相等。则由向量组等价,且个数相同(均为),故。16、由作为列构成矩阵. ,故,则,故两个向量组可以互相线性表示,因而向量组等价.17、(1); (2).18、(1); (2),即.19、因为,所以已成正交,故,则再单位化:20、
6、取,则, ,21、(1)不是正交矩阵,因第一行元素平方之和; (2)是正交矩阵,因第行元素平方之和等于1,第行、第行对应元素之和等于零.22、先证为对称矩阵:再证为正交矩阵:23、因都是阶正交矩阵,故; 而,故为正交矩阵.习 题 四,故,取,则,基础解系为.(2)、,得同解方程组,取,得,故基础解系为.2、(1)通解为,(为任意实数).,得同解方程组,取,则,基础解系为,通解为.3、,第一个方程与第二个方程对调,并乘第一个方程,得: 当时,此方程组有非零解.4、 ,故无非零解.5、(1)总有解(因).只有零解,就没有基础解系;有非零解,则存在基础解系;基础解系不唯一,基础解系中含有个解向量.
7、(2)若已知的一个基础解系为,则的通解形式为,其中为任意实数. (3)若是的基础解系,则也是的基础解系,这因为:,即,由于线性无关,故,从而得. (4)有非零解,且,则,这是正确的结论.6、先证必要性. 若三个向量共面,由共面的充要条件为,知齐次线性方程有非零解. 再证充分性. 若齐次线性方程组有非零解,则,即三个向量共面.7、设为的基础解系,由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等,故等价的线性无关向量组可以为,则可由线性表示,从而也是的解. 又线性无关,的任一解可由线性表示,从而可由线性表示,这就说明也是一个基础解系.8、设为的基础解系,又设为的线性无关解,由第7题可知,只要证明这两个解
8、向量等价即可.因为基础解系,故可由线性表示,即因为线性无关,所以,则可由线性表示,因而这两个向量组等价.9、利用原方程组与方程组同解,的秩相等,则可证明可由线性表示.10、记,由,故是的解.反之,若是的解,则.11、将通解改写为,由此可知,所求方程组有两个自由未知数,且对应的齐次线性方程组为,即,所给表达式为其通解.12、因为,所以,对施以初等行变换,化为行阶梯形矩阵,要使,则必有,此时与同解方程组为,取,则有,故基础解系为13、因,且中某元素的代数余子式,故存在非零的阶子式,从而可知,则基础解系中所含解向量的个数为.14、(1),即则同解方程组为,则(其中为任意常数).15、当时,方程组有唯
9、一解.当时,因为,所以方程组无解.,即有同解方程组,解为,其中为任意常数.16、,故,方程组有解.17、,当时,有解.18、解一,当时,方程组有唯一解.当时,原方程组为;,同解方程组为,即(为任意常数).当时,原方程组为,即,这时第二个第三个方程左边相同,而右边不等,故方程组无解.解二,对原方程组的增广矩阵施初等行变换,于是,当时,原方程组无解;当时,原方程组有唯一解;当时,原方程组有无穷多组解,其全部解为(其中为任意常数),(或(为任意常数).19、(1)若,则必有解,且有无穷多解. (2)若,则必有解,且有唯一解.(3)若只有零解,则有唯一解,这是错误的结论,因二者不一定相等.20、设,得
10、线性方程组为 其系数行列式,由此可见: (1)当时,则方程组有唯一解;故可由唯一的线性表示; (2)当时,则方程组有无穷多解,故可由线性表示,这时; (3)当时,则方程组的增广矩阵因,故方程组无解;从而不能由线性表示.21、证一,用非齐次方程组解的定义去证:因为,所以是的解.证二,用非齐次方程组解的结构定理去证:因为是的解,则是的解,所以也是的解,即是的解.22、有解的充要条件为,故必要求.23、由题设知均为的解,且线性无关,而为的解,则的通解为.24、对增广矩阵施初等行变换,得同解方程组为,取得,即得非齐次线性方程组的一个解为.对应齐次线性方程组,取得,即对应齐次线性方程组的基础解系为.25
11、、因为线性无关,且,所以,从而的基础解系中含个解向量,又由得,故是的一个基础解系;又由得,即,可见是的一个特解,故的通解为(为任意常数).26、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩,又是的三个解向量,则,故的通解为(为任意常数).27、设小鸡、母鸡、公鸡的个数为,则,由(2)得,由得,即,现求其正整数解为.习 题 五1、(1),故的特征值.当时,解方程,由,得基础解系为,对应于全部特征向量为(的任意常数).当时,解方程,由,得基础解系为,对应于全部特征向量为(不同时为零的任意常数).(2),故的特征值为.,得基础解系为,对应于全部特征向量为(任意常数).(3),故的特征值为.当时,解方程,由,得
12、基础解系中解向量个数为,因而任意三个线性无关的向量都是它的一个基础解系,不妨取三维单位向量组,就是对应特征值的特征向量,对应于全部特征向量为(不全为零的任意常数).此结论可推广至阶,不妨取个单位向量组,就是对应于特征值的特征向量。2、由为矩阵的特征值知,从而;把代入矩阵,通过计算得,故.3、由两边左乘得,由得,即,因为,所以,由此得.4、已知是的特征值,故是的一个特征值,则的一个特征值为.5、因是的特征值,故,从而的特征值为,即的特征值为,于是的特征值为,因而.6、用反证法 设是A的属于特征值的特征向量,即则由 ,得即 .因是分别属于不同的特征值的特征向量,从而线性无关,故由上式得即 这与矛盾,因而不是A的特征向量.7、则 ;相似对角矩阵为8、(1)A中有特征值1,3,0,有三个不同的特征值,故A可相似对角化. (2)B中特征值为1,1,3,当时, 故的基础解系中仅含有一个向量,即只有一个线性无关的特征向量,故B不能相似对角化.(3)由得C的特征值为1个6,2个0,当时,,这说明的基础解系由2个解向量组成,故有两个线性无关的特征向量,故C可相似
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